Wenn du zur jeder Gleichung dir eine Funktion vorstellen würdest, würdest du bemerken, dass eine Parabel mit der Steigung 54 subtrahiert der Geraden 3n ab Punkt 1 immer <7 sein wird, da die Parabel parabelförmig ansteigt und dieser Anstieg schon bei n=1 y=54 beträgt.

2) ist wie 1), nur dass die 7 die Gerade nach oben verschiebt.

Hallo!

Lösen wir die Gleichung

\(\displaystyle  54n^2-3n-7>0\) nach positiven \(\displaystyle  n\) auf, so erhalten wir

\(\displaystyle  n > \frac{7}{18}\). Da aber \(\displaystyle  n\in\mathbb{N} \land n\geq 1\) gilt, ist diese Bedingung also erfüllt – wzbw.

Bemerkung: Da wir zwei Nullstellen haben, verschwindet die Funktion an den Grenzen des bzw. ist \(\displaystyle <0 \) im Inneren des Intervalls \(\displaystyle  n\in[\xi_1,\xi_2]\) mit \(\displaystyle  (\xi_i)_{1\leq i\leq 2}\) bezeichnen die Nullstellen. Da heißt, dass, speziell in diesem Fall, die Funktion für alle anderen Werte \(\displaystyle  > 0\) sein muss.

Anmerkung:

Eine Alternative wäre:

\(\displaystyle 54n^2 > 3n \quad\Longleftrightarrow\quad n > \frac{3}{54} \). Da aber \(\displaystyle  n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\) ist, ist diese Bedinung erfüllt. Nun muss man sich den „kleinsten“ Fall anschauen: \(\displaystyle  n=1: \quad 54-3 = 51 > 7\) und da ja eben der quadratische Teil stets größer als der lineare Teil ist und der niedrigste Fall schon die Bedingung erfüllt, so wächst natürlich die Differenz. Man hätte es auch über vollständige Induktion beweisen können …

Gruß.