Hallo!

a) Wir berechnen einige Folgenglieder durch Einsetzen in die Formel für \(a_n\): \(a_1=4, a_2 = 13\) und \(a_3=40\). Der Abstand ist zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder ist nicht konstant (deshalb ist die Folge nicht arithmetisch). Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder ist nicht konstant (deshalb ist die Folge nicht geometrisch). Die Folge ist also weder arithmetisch, noch geometrisch.

b) \(a_1=4\) ist der Startwert. $$\begin{array}{l} a_2=3\cdot \underbrace{4}_{a_1}+1=13\\ a_3=3\cdot \underbrace{13}_{a_2}+1=40\\ \end{array}$$

c) Da die Behauptung für alle natürlichen Zahlen bewiesen werden soll, wird \(n_0=1\) als Startwert gewählt. Du musst nun testen, ob das \(n_0\)-te (also erste) Folgenglied durch die explizite Darstellung \(a_{n}=\frac{3^{n+1}-1}{2}\) berechnet werden kann. Für \(n_0=1\) muss also der vorgegebene Startwert  \(a_{1}=4\) herauskommen: $$a_{n_0}=\frac{3^{n_0+1}-1}{2}=\frac{3^{1+1}-1}{2}=\frac{3^2-1}{2}=\frac{9-1}{2}=\frac{8}{2}=4\checkmark$$

Induktionsvoraussetzung \(\mathcal{A}(n)\) $$\exists n\in\mathbb{N}:(a_{n+1})=3\cdot a_n+1\Longrightarrow a_n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$$

Induktionsbehauptung \(\mathcal{A}(n+1)\) $$\Longrightarrow a_{n+1}=\frac{3^{(n+1)+1}-1}{2}$$

Induktionsschluss \(\mathcal{A}(n) \Longrightarrow\mathcal{A}(n+1)\) $$\begin{array}{l} a_{n+1} = 3\cdot a_{n}+1 \\ =_{I.V.} 3\cdot \frac{3^{n+1}-1}{2}+1 \\ =\frac{3\cdot 3^{n+1}-3\cdot 1}{2}+1 \\ =\frac{3\cdot 3^{n+1}-3\cdot 1+2}{2} \\ =\frac{3\cdot 3^{n+1}-1}{2} \\ =\frac{3^{n+1+1}-1}{2} \\ =\frac{3^{(n+1)+1}-1}{2}\checkmark \end{array}$$ \(\square\)

Beste Grüße
André