Rekursionsformel durch vollständige Induktion beweisen


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Gegeben sei die Rekursionsgleichung $$(a_{n+1})=3\cdot a_n+1$$ mit dem Startwert \(a_1=4\). Das \(n-\)te Folgenglied kann explizit durch die Formel $$a_n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$$

a) Ist diese Folge arithmetisch, geometrisch oder keins von beidem? Begründen Sie Ihre Antwort.

b) Berechnen Sie das \(3.\) Folgenglied \(a_3\) rekursiv.

c.) Beweisen Sie durch vollständige Induktion über \(n\in\mathbb{N}\), dass das \(n-\)te Folgenglied \(a_n\) tatsächlich durch die Formel $$a_n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$$ berechnet werden kann.

 

gefragt vor 5 Monate, 1 Woche
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Hallo!

a) Wir berechnen einige Folgenglieder durch Einsetzen in die Formel für \(a_n\): \(a_1=4, a_2 = 13\) und \(a_3=40\). Der Abstand ist zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder ist nicht konstant (deshalb ist die Folge nicht arithmetisch). Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder ist nicht konstant (deshalb ist die Folge nicht geometrisch). Die Folge ist also weder arithmetisch, noch geometrisch.

b) \(a_1=4\) ist der Startwert. $$\begin{array}{l} a_2=3\cdot \underbrace{4}_{a_1}+1=13\\ a_3=3\cdot \underbrace{13}_{a_2}+1=40\\ \end{array}$$

c) Da die Behauptung für alle natürlichen Zahlen bewiesen werden soll, wird \(n_0=1\) als Startwert gewählt. Du musst nun testen, ob das \(n_0\)-te (also erste) Folgenglied durch die explizite Darstellung \(a_{n}=\frac{3^{n+1}-1}{2}\) berechnet werden kann. Für \(n_0=1\) muss also der vorgegebene Startwert  \(a_{1}=4\) herauskommen: $$a_{n_0}=\frac{3^{n_0+1}-1}{2}=\frac{3^{1+1}-1}{2}=\frac{3^2-1}{2}=\frac{9-1}{2}=\frac{8}{2}=4\checkmark$$

Induktionsvoraussetzung \(\mathcal{A}(n)\) $$\exists n\in\mathbb{N}:(a_{n+1})=3\cdot a_n+1\Longrightarrow a_n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$$

Induktionsbehauptung \(\mathcal{A}(n+1)\) $$\Longrightarrow a_{n+1}=\frac{3^{(n+1)+1}-1}{2}$$

Induktionsschluss \(\mathcal{A}(n) \Longrightarrow\mathcal{A}(n+1)\) $$\begin{array}{l} a_{n+1} = 3\cdot a_{n}+1 \\ =_{I.V.} 3\cdot \frac{3^{n+1}-1}{2}+1 \\ =\frac{3\cdot 3^{n+1}-3\cdot 1}{2}+1 \\ =\frac{3\cdot 3^{n+1}-3\cdot 1+2}{2} \\ =\frac{3\cdot 3^{n+1}-1}{2} \\ =\frac{3^{n+1+1}-1}{2} \\ =\frac{3^{(n+1)+1}-1}{2}\checkmark \end{array}$$ \(\square\)

Beste Grüße
André

geantwortet vor 5 Monate, 1 Woche
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