Vollständige Induktion bei einer Ungleichung mit n ∈ N & x ∈ R

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Bei der Vorbereitung auf meine Mathe Klausur bin ich auf folgende Frage gestoßen:

(1 + x)^n ≥ 1 + nx           für alle ¨ n ∈ N, x ∈ R, x ≥ −1.

Was ich bisher habe:

Induktionsanfang: Sei n=1: (1+x)^1  ≥ 1+1x  == 1+x ≥ 1+x      ✔ wahre Aussage

Induktionsvorraussetzung: Für ein beliebiges aber festes n ∈ N (n ≥ 1) gelte:  1 + x^n ≥ 1 + nx

Induktionsbehauptung: Dann gilt auch 1 + x^(n+1) ≥ 1 + (n+1)*x

Beim Induktionsschritt weiß ich nun aber nicht weiter, was wird nun gefordert?

 

gefragt vor 10 Monate, 3 Wochen
m
miratro1337,
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1 Antwort
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Hallo Miratro!

Das ist die Ungleichung von Bernoulli, die du hier beweisen sollst :) Dein bisheriger Beweis sieht bereits recht passabel aus! ;) 

Beim Induktionsschritt musst du nun von 

\((1+x)^{n+1}\)

unter Zuhilfenahme der Induktionsvoraussetzung darauf schließen, dass dieser Ausdruck größer als oder gleich

\(1+(n+1)\cdot x\) ist.

Wende zuerst das Potenzgesetz \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\) auf \((1+x)^{n+1}\) an:

\(=(1+x)\cdot (1+x)^n\)

Nach der Induktionsvoraussezung ist \((1+x)^n\geq 1+n\cdot x\). Daraus folgt:

\(\geq (1+x)\cdot(1+n\cdot x)\)

\(= 1+nx+x+nx^2\)

\(\geq 1+nx+x\)

\(= 1+(n+1)\cdot x\)

Hilft dir das weiter?

Beste Grüße
André

geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen

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