3 Pumpen Aufgabe (Mischungen, lineare Gleichungssysteme)

Erste Frage Aufrufe: 2554     Aktiv: 11.07.2019 um 07:30
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Ein Pool wird von 3 Pumpen gefüllt, zwei vom Typ I, eine vom Typ II.
Alle drei Pumpen füllen den Pool in 98 min.
Wenn eine Pumpe vom Typ I ausfällt, dauert es 126 min.

Wie lange braucht Pumpe I alleine, um den Pool zu füllen? Wie lange braucht Pumpe II alleine?

 

Das ist aus Lambacher Schweizer 8, aber ich verzweifle schon am Ansatz. Wie bekomme ich die Füllmenge pro Minute unter? Brauche ich die überhaupt?

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Also wenn man dies mit dem Ansatz \(\displaystyle 2a + b = 98 \quad\land\quad a + b = 126 \) löst, so erhält man für \(a\) einen negativen Wert. Dies ist aber auch der einzigster Ansatz, der mir zu der Aufgabe einfällt, aber diese macht, offensichtlich, keinen Sinn, oder es liegt ein Fehler in der Aufgabenstellung vor …   ─   einmalmathe 07.07.2019 um 21:09
Ich habe mir auch Gedanken zu dieser Aufgabe gemacht. Als was würdest du denn a und b bei deinem Ansatz definieren? Zeit bis Pumpe a bzw. b den Pool gefüllt hat? Wenn man sich die Gleichungen genauer anschaut, merkt man, dass dies in diesem Fall keinen Sinn ergibt.   ─   jordan 07.07.2019 um 21:37
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Mein Ansatz wäre folgender:

Definiere x als Teil des Pools, der von einer Pumpe vom Typ I in einer Minute gefüllt werden kann und y genauso für eine Pumpe vom Typ II.

Mit dieser Überlegung erhält man folgendes LGS:

\(2x + y = \frac{1}{98}\) (1)

\(x + y = \frac{1}{126}\) (2)

(1) - (2) liefert:

\(x = \frac{1}{441}.\) (3)

Nun müssen wir noch (3) in (2) einsetzen und erhalten

\(y = \frac{5}{882}.\)

Jetzt wissen wir wie viel Becken pro Minute von jedem Pumpentyp gefüllt wird. Hieraus kann man leicht folgern, dass die Pumpe vom Typ I 441 Minuten und eine Pumpe vom Typ II \(\frac{882}{5}\) Minuten braucht um das Becken ganz zu füllen.

 

PS: Ich bin mir bei meiner Antwort alles andere als sicher und würde mich sehr über eine Verbesserung oder Bestätigung freuen. Das soll lediglich als Denkanstoß dienen. 

 

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OK, das macht wesentlich mehr Sinn als mein Stuß – ich habe zwar auch die Zeit berücksichtigt, aber eher im Sinne von, dass \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) die Zeit schon berücksichtigen (also Pumpe I und II – dafür stehen die beiden Variablen respektiv), aber dachte mir, dass dann die Gesamtsumme an Zeit ja die Bedingungen ergeben muss. Deine Antwort macht allerdings mehr Sinn, jetzt sehe ich, glaube ich, meinen Denkfehler … Upvote!   ─   einmalmathe 07.07.2019 um 23:39
Danke dafür, dass ihr euch Gedanken gemacht habt!
Mich haben die Ergebniszahlen etwas stutzig gemacht und ich habe noch einmal neu angesetzt:

Ich habe zunächst ein Vielfaches von 98 und 126 gesucht, um die Füllzeiten irgendwie in Relation zueinander zu setzen. Dann könnte man doch sagen, dass zwei Pumpen vom Typ I und eine Pumpe Typ II in 882 min 9 Pools füllen könnten. Genauso würden eine Pumpe Typ I und eine Pumpe Typ II in 882 min dann 7 Pools füllen.
Also ergeben sich Gleichungen mit ganz einfachen Zahlen:
(1) 2x + y = 9
(2) x + y = 7 => y = 5 und x = 2
Damit käme ich auf das gleiche Ergebnis:
Pumpe I braucht 882 min für 2 Pools, also 441 min für einen, und Pumpe II 882 Min für 5 Pools, also 882:5 min für einen.

Trotzdem habe ich immer noch ein ungutes Gefühl dabei.
Vermischen wir da nicht die absoluten Wassermengen mit den Füllmengen pro Minute?

Vielleicht hat ja doch noch jemand eine Idee oder überzeugt mich von den krummen Zahlen?   ─   tanjak 08.07.2019 um 18:48

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Die Antwort von jordan, die mit »Mein Ansatz wäre folgender« beginnt, ist wirklich hervorragend. Eine Anmerkung dazu:

Wenn die Aufgabe gelöst werden soll, müssen die beiden Brüche \(\frac{1}{98}\) und \(\frac{1}{126}\) gleichnamig gemacht werden. Das geht über die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) mittels Primfaktorenzerlegung. Dabei kommt dann \(\frac{9}{882}\) für \(\frac{1}{98}\) und  \(\frac{7}{882}\) für \(\frac{1}{126}\) heraus.

Der Rest ist einfach.

Viele Grüße

jake2042

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Gleichungssysteme, die zwei Gleichungen und zwei Unbekannte haben, lassen sich grundsätzlich auch zeichnerisch lösen. Dazu müssen die beiden Gleichungen jeweils nach y aufgelöst und in die Form \(y=bx+a\) gebracht werden. Dabei ist b die Steigung und a der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Dieses Diagramm habe ich in GeoGebra erstellt:



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