Hallo!

Die Folge kann nicht konvergieren (siehe bei Wolframalpha mal nach), denn mit Hilfe vom Quotientenkriterium* erhält man

\(\displaystyle \left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = \sqrt{5} > 1 \quad \forall n\in\mathbb{N}\). Der Betrag einer komplexen Zahl \(\displaystyle z = a + ib\) mit \(\displaystyle a,b\in\mathbb{R}\) ist als

\(\displaystyle \vert z\vert := \sqrt{a^2+b^2}\) definiert.

Anmerkung:

Verwendest Du die Polarform und bildest dann den Betrag deiner komplexen Zahlenfolge, so ist diese tatsächlich beschränkt und konvergiert für \(\displaystyle n\to\infty \) gegen \(0\).

\(\displaystyle \varphi := \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) + 2k\pi \) mit \(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \) und \(\displaystyle r = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = \underline{+}5 \quad\text{der Radius ist stets positiv} \).

Damit erhält man, dass 

\(\displaystyle \left\vert\left(\frac{3+4i}{5}\right)^n\right\vert = \frac{\vert r^n\vert\cdot\left\vert \mathrm{e}^{i\varphi n}\right\vert}{5^n} = \frac{\sqrt{25^n}}{5^n} = 1 \).

* Wenn der Quotient \(\displaystyle  < 1\) ist, so ist, logischerweise, jedes Folgenglied kleiner als das vorherige und die untere Grenze ist offenkundig die \(\displaystyle  1\) – so folgt also die Konvergenz (Monotonie und Beschränktheit). Ist dieser aber \(\displaystyle  =1\), so konvergiert sie ebenfalls, da der Quotient (und nicht der Grenzwert) \(\displaystyle  \underline{=}1\) ist und somit alle Folgenglieder gleich sind und somit Konvergenz vorliegt. Hier ist aber der Quotient \(\displaystyle  >1\), ergo ist jedes Folgenglied größer als das vorherige – und die für alle \(\displaystyle  n\). Sprich es liegt keine obere Grenze vor und somit folgt die Divergenz (bspw. steigt ja eine S-Kurve [Sättigungskurve], aber diese wird einen Grenzwert nie überschreiten – dies spiegelt sich im Quotienten von zwei aufeinanderfolgenden (Folgen)Gliedern [hier sieht man dies durch den Grenzübergang \(\displaystyle  n\to\infty\)] wieder).

Gruß.