Konvergenz komplexer Folge


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Wie kann ich die Folge auf Konvergenz untersuchen und den Grenzwert berechnen?

\( (\frac{3+4i}{5})^n\) 

Der Betrag der Folge konvergiert scheinbar gegen 1. Wie kommt man darauf? Ich dachte bisher, dass bei dem Betrag einer komplexen Folge der Imaginärteil wegfällt.

Demnach hätte ich

\( (\frac{3}{5})^n\) .

Was übersehe ich?

 

gefragt vor 5 Monate
m
m4rc7,
Student, Punkte: 10
 

Der Betrag im Komplexen ist ja nicht so definiert, dass der Imaginärteil einfach wegfällt, sondern ähnlich wie die euklidische Norm.   -   jordan, kommentiert vor 5 Monate
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1 Antwort
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Hallo!

 

Die Folge kann nicht konvergieren (siehe bei Wolframalpha mal nach), denn mit Hilfe vom Quotientenkriterium* erhält man

 

\(\displaystyle \left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert = \sqrt{5} > 1 \quad \forall n\in\mathbb{N}\). Der Betrag einer komplexen Zahl \(\displaystyle z = a + ib\) mit \(\displaystyle a,b\in\mathbb{R}\) ist als

 

\(\displaystyle \vert z\vert := \sqrt{a^2+b^2}\) definiert.

 

Anmerkung:

 

Verwendest Du die Polarform und bildest dann den Betrag deiner komplexen Zahlenfolge, so ist diese tatsächlich beschränkt und konvergiert für \(\displaystyle n\to\infty \) gegen \(0\).

 

\(\displaystyle \varphi := \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) + 2k\pi \) mit \(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \) und \(\displaystyle r = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = \underline{+}5 \quad\text{der Radius ist stets positiv} \).

 

Damit erhält man, dass 

 

\(\displaystyle \left\vert\left(\frac{3+4i}{5}\right)^n\right\vert = \frac{\vert r^n\vert\cdot\left\vert \mathrm{e}^{i\varphi n}\right\vert}{5^n} = \frac{\sqrt{25^n}}{5^n} = 1 \).

 

* Wenn der Quotient \(\displaystyle  < 1\) ist, so ist, logischerweise, jedes Folgenglied kleiner als das vorherige und die untere Grenze ist offenkundig die \(\displaystyle  1\) – so folgt also die Konvergenz (Monotonie und Beschränktheit). Ist dieser aber \(\displaystyle  =1\), so konvergiert sie ebenfalls, da der Quotient (und nicht der Grenzwert) \(\displaystyle  \underline{=}1\) ist und somit alle Folgenglieder gleich sind und somit Konvergenz vorliegt. Hier ist aber der Quotient \(\displaystyle  >1\), ergo ist jedes Folgenglied größer als das vorherige – und die für alle \(\displaystyle  n\). Sprich es liegt keine obere Grenze vor und somit folgt die Divergenz (bspw. steigt ja eine S-Kurve [Sättigungskurve], aber diese wird einen Grenzwert nie überschreiten – dies spiegelt sich im Quotienten von zwei aufeinanderfolgenden (Folgen)Gliedern [hier sieht man dies durch den Grenzübergang \(\displaystyle  n\to\infty\)] wieder).

 

Gruß.

geantwortet vor 5 Monate
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.44K
 

Mit dem ersten Teil deiner Antwort bin ich nicht ganz einverstanden, da das Quotientenkriterium doch nur für Reihen und nicht für Folgen gilt.   -   jordan, kommentiert vor 5 Monate

Ich meine hier auch nicht wirklich das „Quotientenkriterium“ – eher im Sinne von, dass die Folge unbeschränkt ist, denn wäre der Quotient \(\displaystyle < 1\), so wäre ja das nächste Folgenglied kleiner als das vorherige und man kann eine untere Grenze (nämlich die \(\displaystyle 1\)) finden, sodass daraus die Konvergenz folgt. Verstehst Du, was ich meine?   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 5 Monate

Ja, sehr guter Gedanke! So ergibt das natürlich absolut Sinn.   -   jordan, kommentiert vor 5 Monate
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