Hallo Miriam,
diese Aufgabe lässt sich Schritt für Schritt lösen. Gerade die Tipps nach der Definition der Funktion sind Gold wert. \(f_X\) soll stetig sein. Wunderbar, dann schauen wir uns mal die einzelnen Intervalle. Offenbar ist jeder Bereich in sich stetig (als Verknüpfung stetiger Funktionen), jedoch haben wir Grenzen, die betrachtet werden müssen. Stelle also zunächst sicher, ob \(0 = 2 \cdot 0 - 0^2 \) gilt. Wenn ja, ist dieser Übergang schon mal stetig. Dann muss noch der Übergang an Stelle \( x=1 \) stetig sein. Hierfür überprüfen wir die Gleichheit von \(2 \cdot 1 - 1^2 = a\cdot 1+b \). Dies können wir machen, obwohl \(ax+b\) nicht für \(x=1\) definiert ist, aber eine Gerade darstellt. Somit sparen wir uns die Grenzwertbetrachtungen - in einer umfangreicheren Hausarbeit aber bestimmt gern gesehen. Auf jeden Fall erhältst du hierdurch schon eine erste Bedingung: \(a+b=1\).
In einem zweiten Schritt soll gelten: $$ \int_{\mathbb{R}} f_X (x) \text{ d}x = \int_{-\infty}^{\infty} f_X (x) \text{ d}x = 1.$$ Dies beziehen wir auf die einzelnen Teilbereiche, die offenbar integrierbar sind. Es gilt: $$ \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} f_X (x) \text{ d}x &= \int_{-\infty}^0 0 \text{ d}x &+ \int_0^1 2x-x^2 \text{ d}x &+ \int_1^c ax+b \text{ d}x &+ \int_{c}^{\infty} 0 \text{ d}x \\ &= 0 &+ \int_0^1 2x-x^2 \text{ d}x &+ \int_1^c ax+b \text{ d}x &+ 0 = 1. \end{align} $$
Versuche das nun zu berechnen und weitere Bedigungen bzw. eine eindeutige Lösung zu finden.
Lehrer/Professor, Punkte: 640