Warteschlangentheorie

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Hallo,

mich würde interessieren wie man von der 1. Zeile auf die 2. Zeile kommt, also mit dem -P(t<=T) und wie man danach auf die 3. Zeile kommt, genauer auf den limes.

Bei der Aufgabe handelt es sich um eine Poisson-Verteilung welche die Ankünfte von Kunden darstellt (Warteschlangentheorie).

Das Ergebnis ist am Ende die Formel \(P=1-e^(- mü*t)\)

 

gefragt vor 10 Monate, 4 Wochen
s
shadow,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

tut mir Leid das die Antwort so spät kommt. 

Die Wahrscheinlichkeit \( P(T \leq t < T +  \Delta t) \) steht für die Wahrscheinlichkeit des Intervalls \( [T, T + \Delta t) \). 
Da die Wahrscheinlichkeit aufsummiert wird, können wir auch die Wahrscheinlichkeit des Intervalls \(  [0, T + \Delta t) \) berechnen und von dieser Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit des Intervalls \( [0,T] \) abziehen, also

\( P(T \leq t < T +  \Delta t) = P(t < T+ \Delta t) - P(t \leq T ) \)

Zu der zweiten Umformung. Wir teilen beide Seiten durch \( \Delta t \) und erhalten 

\( \frac { P(t < T+ \Delta t) - P(t \leq T )} {\Delta t} = (1-P(t \leq T)) \mu \)

Nun hängt die rechte Seite nicht von \( \Delta t \) ab, verändert sich also nicht bei beliebigen \( \Delta t \). Deshalb können wir auch das \( \Delta t \) gegen Null laufen lassen, ohne das dies Auswirkung auf die rechte Seite der Gleichung hätte.

Diese Überlegung wird gemacht um den Zusammenhang zur Ableitung herzustellen.

Grüße Christian

geantwortet vor 10 Monate, 3 Wochen
christian_strack verified
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