Hallo,

tut mir Leid das die Antwort so spät kommt. 

Die Wahrscheinlichkeit \( P(T \leq t < T +  \Delta t) \) steht für die Wahrscheinlichkeit des Intervalls \( [T, T + \Delta t) \). 
Da die Wahrscheinlichkeit aufsummiert wird, können wir auch die Wahrscheinlichkeit des Intervalls \(  [0, T + \Delta t) \) berechnen und von dieser Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit des Intervalls \( [0,T] \) abziehen, also

\( P(T \leq t < T +  \Delta t) = P(t < T+ \Delta t) - P(t \leq T ) \)

Zu der zweiten Umformung. Wir teilen beide Seiten durch \( \Delta t \) und erhalten 

\( \frac { P(t < T+ \Delta t) - P(t \leq T )} {\Delta t} = (1-P(t \leq T)) \mu \)

Nun hängt die rechte Seite nicht von \( \Delta t \) ab, verändert sich also nicht bei beliebigen \( \Delta t \). Deshalb können wir auch das \( \Delta t \) gegen Null laufen lassen, ohne das dies Auswirkung auf die rechte Seite der Gleichung hätte.

Diese Überlegung wird gemacht um den Zusammenhang zur Ableitung herzustellen.

Grüße Christian