Hallo,

ich betrachte mal nachfolgend nur Sklarfelder, also Funktionen \( \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \).

Ich denke anschaulicher wäre es erstmal die Tangentialebnen anzuschauen, aber davor noch Tangenten (also den eindimensionalen Fall): im eindimensionalen definiert man die Tangte an einem Punkt \(P(u|f(u)) \) über

\( t: y-f(u)=f'(u)(x-u) \)

Im mehrdimensionalen übernimmt die Rolle der Ableitungsfunktion (mehr oder weniger) die Jaccobi Matrix und x und u werden hier auch Vektoren sein. Hier hat man die Form

\( t: y-f(u)=D(x-u) \)

Wenn man das ausmultipliziert erhält man

\( t: y-f(u)=\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}(x_1-u_1)+...+\frac{\partial f(x)}{\partial x_n}(x_n-u_n) \)

Für infinitesimale Abstände, also \( df=y-f(u)\) und \( dx_i=x_i-u_i \)

\( df=\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}dx_1+...+\frac{\partial f(x)}{\partial x_n}dx_n =\sum_{i=1}^n \frac{\partial f(x)}{\partial x_i}dx_i \).

Sonst hilft dir vielleicht noch meine Frage zu dem Thema, die ich vor einigen Moanten stellte:

https://fragen.letsrockmathe.de/question/6096/totale-ableitung-anschauliche-bedeutung/

Grüße,

h