Die Ableitung der ersten Funktion stimmt.
\(\left [\ln f(x) \right ] ' = \dfrac{f'(x)}{f(x)}\)
Ansonsten gilt mit der Kettenregel allgemein \(\left [ f(g(x))\right ] ' = f'(g(x))\cdot g'(x)\).
Bei \(e^{\ln(x)+3}\) wäre die äußere Funktion \(f(x) = e^x\) und die innere \(g(x)=\ln (x)+3\). Somit ergibt sich mithilfe der Kettenregel \(e^{\ln(x)+3}\cdot \left [\ln(x)+3\right]' = e^{\ln(x)+3}\cdot \dfrac{1}{x} = e^3\)
Für die e-Funktion kann man sich auch merken, die Ableitung ist einfach die Ausgangsfunktion multipliziert mit der Ableitung des Exponenten.
c) Auch hier wenden wir die Kettenregel an. Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus. Folglich gilt für die Ableitung dieser Funktion, \(f'(x)=\cos(\sqrt{2x}) \cdot \left [ \sqrt{2x}\right]' = \cos(\sqrt{2x}) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2x}}=\dfrac{\cos(\sqrt{2x})}{\sqrt{2x}}\)
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