Hallo alex105,

es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen. Du kannst mit Wahrscheinlichkeitsbäumen, mit Tabellen und auch mit Formeln arbeiten. Oder mit einer Kombination daraus. Was ich hier vorstellen möchte, ist eine Lösungsmöglichkeit, die mit Tabellen arbeitet. Zunächst bestimmen wir die absoluten Zahlen der Studierenden, die jeweils die Physik- bzw. die Chemieprüfung bestanden haben:

\begin{eqnarray}
\textrm{Physik:}\quad120\cdot0,8 & = & 96\\
\textrm{Chemie:}\quad120\cdot0,7 & = & 84
\end{eqnarray}

Wir wissen außerdem, dass 15 Studierende keine der beiden Prüfungen bestanden haben und dass insgesamt 120 Studierende in beiden Fächern geprüft worden sind (Fallzahl).

Damit wird jetzt eine Vierfeldertafel konstruiert. In diese Vierfeldertafel werden zunächst die bis jetzt bekannten absoluten Häufigkeiten eingetragen. Das sieht dann so aus:

\(
\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline
 &\textrm{Physik nicht bestanden}&\textrm{Physik bestanden}&\textrm{Gesamt}
\\\hline
\textrm{Chemie nicht bestanden}&15& &
\\\hline
\textrm{Chemie bestanden}& & &84
\\\hline
\textrm{Gesamt}& &96&120
\\\hline
\end{array}
\)

Die restlichen Zellen werden aus den bekanntenZahlen heraus ergänzt. Es entsteht die folgende vollständige Tabelle mit den absoluten Häufigkeiten:

\(
\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline
 &\textrm{Physik nicht bestanden}&\textrm{Physik bestanden}&\textrm{Gesamt}
\\\hline
\textrm{Chemie nicht bestanden}&15&21&36
\\\hline
\textrm{Chemie bestanden}&9&75&84
\\\hline
\textrm{Gesamt}&24&96&120
\\\hline
\end{array}
\)

Damit kann Frage a) bereits beantwortet werden. Von den insgesamt 120 Studierenden haben 75 beide Prüfungen bestanden. Das sind:

$$\frac{75}{120}=0,625=62,5\,\%$$

Frage b) betrifft die Wahrscheinlichkeit, die Chemieprüfung unter der Bedingung bestanden zu haben, dass die Physikprüfung bestanden worden ist. Es geht also um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Deshalb werden in der Tabelle die Randhäufigkeiten »Physik nicht bestanden«, »Physik bestanden« und »Gesamt« jeweils auf 1 gesetzt und dann spaltenweise die relativen Häufigkeiten von »Chemie nicht bestanden« und »Chemie bestanden« bestimmt. Das ergibt die folgende Tabelle:

\(
\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline
 &\textrm{Physik nicht bestanden}&\textrm{Physik bestanden}&\textrm{Gesamt}
\\\hline
\textrm{Chemie nicht bestanden}&0,625&0,219&0,3
\\\hline
\textrm{Chemie bestanden}&0,375&0,781&0,7
\\\hline
\textrm{Gesamt}&1&1&1
\\\hline
\end{array}
\)

Daraus lässt sich erkennen, dass 78,1 Prozent derjenigen, die Physik bestanden haben, auch Chemie bestanden haben. Diese Zahl lässt sich auch anders ermitteln. Bereits aus der Aufgabenstellung bekannt ist die relative Häufigkeit aller Studierenden, die Physik bestanden haben. Sie beträgt 0,8 oder 80 Prozent. Die relative Häufigkeit, die Chemieprüfung und die Physikprüfung zu bestanden zu haben, ist aus Aufgabe a) behḱannt. Sie beträgt 0,625 oder 62,5 Prozent. Nach der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt sich:

$$P\left(\textrm{Chemie}\mid\textrm{Physik}\right)=\frac{P\left(\textrm{Chemie}\cap\textrm{Physik}\right)}{P\left(\textrm{Physik}\right)}=\frac{0,625}{0,8}=0,781$$

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student die Chemieprüfung bestanden hat, unter der Bedingung, dass er auch die Physikprüfung bestanden hat, bei 78,1 Prozent liegt.

Wenn Du willst, kannst Du das alles noch einmal mit Wahrscheinlichkeitsbäumen durchrechnen. Du musst Dir allerdings gut überlegen, ob Du die Physik- oder die Chemieprüfung in die erste Stufe setzt.

Viele Grüße

jake2024

zu a)

15 Studenten haben keine Klausur bestanden --> 105 Studenten haben mindestens eine Klausur bestanden

Wie du bereits richtig erkannt haste, haben 84 Studenten Chemie bestanden und 96 Studenten haben Physik bestanden. Nun musst du die Schnittmenge finden, damit die obige Bedingung erfüllt ist. 

84 - (105 - 96) = 75 oder 96 - (105 -84) = 75 --> 75 Studenten haben beides bestanden --> 75/120 = 62,5%

(Zur Übung: Wie viele Studenten haben nur Chemie bestanden und wie viele Studenten haben nur Physik bestanden?)

zu b)

Bayes: \(P(A|B) = P(B|A) \cdot \frac{P(A)}{P(B)}\)

\(P(Chemie|Physik) = \frac{75}{84} \cdot \frac{\frac{84}{105}}{\frac{96}{105}} = 78,125\%\)

Hallo alex105,

Du kannst das Ganze auch mit der Berechnung der einzelnen Positionen eines Wahrscheinlichkeitsbaumes und der anschließenden Erstellung desselben lösen. Da Du nicht nur diejenigen Werte berechnest, die Du zur Antwort der Fragen a) und b) benötigst, sondern alle, die zur Erstellung des Wahrscheinlichkeitsbaums nötig sind, hast Du dabei ziemlich viel Rechenaufwand. Also steigen wir in die Bütt:

Symbolisierung

• \(n\) = Fallzahl
• \(\textrm{Ch}\) = Chemieprüfung bestanden
• \(\lnot \textrm{Ch}\) = Chemieprüfung nicht bestanden
• \(\textrm{Ph}\) = Physikprüfung bestanden
• \(\lnot \textrm{Ph}\) = Physikprüfung nicht bestanden
• \(\textrm{abs}(...)\) = absolute Häufigkeit
• \(\textrm{P}(...)\) = relative Häufigkeit bzw. Wahrscheinlichkeit

Gegeben

\(
\begin{eqnarray}
n & = & 120\\
\textrm{P(Ch)} & = & 0,7\\
\textrm{P(Ph)} & = & 0,8\\
\textrm{abs}(\lnot\textrm{Ch}\cap\lnot\textrm{Ph}) & = & 15
\end{eqnarray}
\)

Absolute Häufigkeiten der Randverteilungen

\(
\begin{array}{lcccc}
\textrm{abs}(\textrm{Ch}) & = & 0,7\cdot120 & = & 84\\
\textrm{abs}(\textrm{Ph}) & = & 0,8\cdot120 & = & 96\\
\textrm{abs}(\lnot\textrm{Ch}) & = & 120-84 & = & 36\\
\textrm{abs}(\lnot\textrm{Ph}) & = & 120-96 & = & 24
\end{array}
\)

Absolute Zellenhäufigkeiten

\(
\begin{array}{lcccr}
\textrm{abs}(\textrm{Ch}\cap\textrm{Ph}) & = & \textrm{abs}(\textrm{Ch})-\textrm{abs}(\textrm{Ch}\cap\lnot\textrm{Ph}) & = & 75\\
\textrm{abs}(\textrm{Ch}\cap\lnot\textrm{Ph}) & = & \textrm{abs}(\lnot\textrm{Ph})-\textrm{abs}(\lnot\textrm{Ch}\cap\lnot\textrm{Ph}) & = & 9\\
\textrm{abs}(\lnot\textrm{Ch}\cap\textrm{Ph}) & = & \textrm{abs}(\textrm{Ph})-\textrm{abs}(\textrm{Ch}\cap\textrm{Ph}) & = & 21\\
\textrm{abs}(\lnot\textrm{Ch}\cap\lnot\textrm{Ph}) & = & gegeben & = & 15
\end{array}
\)

Relative Häufigkeiten der Randverteilungen

\(
\begin{array}{lcccr}
\textrm{P}(\textrm{Ch}) & = & gegeben & = & 0,7\\
\textrm{P}(\lnot\textrm{Ch}) & = & 1-\textrm{P}(\textrm{Ch}) & = & 0,3\\
\textrm{P}(\textrm{Ph}) & = & gegeben & = & 0,8\\
\textrm{P}(\lnot\textrm{Ph}) & = & 1-\textrm{P}(\textrm{Ph}) & = & 0,2\\
\textrm{P}(n) & = & \textrm{P}(\textrm{Ch})+\textrm{P}(\lnot\textrm{Ch})=\textrm{P}(\textrm{Ph})+\textrm{P}(\lnot\textrm{Ph}) & = & 1,0
\end{array}
\)

Unbedingte relative Zellenhäufigkeiten

\(
\begin{array}{lcccr}
\textrm{P}(\textrm{Ch}\cap\textrm{Ph}) & = & \frac{\textrm{abs}(\textrm{Ch}\cap\textrm{Ph})}{n} & = & 0,625\\
\textrm{P}(\textrm{Ch}\cap\lnot\textrm{Ph}) & = & \frac{\textrm{abs}(\textrm{Ch}\cap \lnot \textrm{Ph})}{n} & = & 0,075\\
\textrm{P}(\lnot\textrm{Ch}\cap\textrm{Ph}) & = & \frac{\textrm{abs}(\lnot \textrm{Ch}\cap\textrm{Ph})}{n} & = & 0,175\\
\textrm{P}(\lnot\textrm{Ch}\cap\lnot\textrm{Ph}) & = & \frac{\textrm{abs}(\lnot\textrm{Ch}\cap\lnot\textrm{Ph})}{n} & = & 0,125\\
\hline
\textrm{Gesamt} & = & \sum & = & 1,000
\end{array}
\)

Bedingte relative Zellenhäufigkeiten

(Bedingung: Ergebnis Physikprüfung)

\(
\begin{array}{lcccr}
\textrm{P}(\textrm{Ch}|\textrm{Ph}) & = & \frac{\textrm{P}(\textrm{Ch}\cap\textrm{Ph})}{\textrm{P}(\textrm{Ph})} & = & 0,781\\
\textrm{P}(\lnot\textrm{Ch}|\textrm{Ph}) & = & \frac{\textrm{P}(\lnot \textrm{Ch}\cap\textrm{Ph})}{\textrm{P}(\textrm{Ph})} & = & 0,219\\
\hline
\textrm{Gesamt} & = & \sum & = & 1,000\\
\hline
\textrm{P}(\textrm{Ch}|\lnot\textrm{Ph}) & = & \frac{\textrm{P}(\textrm{Ch}\cap \lnot \textrm{Ph})}{\textrm{P}(\lnot \textrm{Ph})} & = & 0,375\\
\textrm{P}(\lnot\textrm{Ch}|\lnot\textrm{Ph}) & = & \frac{\textrm{P}(\lnot \textrm{Ch}\cap \lnot \textrm{Ph})}{\textrm{P}(\lnot \textrm{Ph})} & = & 0,625\\
\hline
\textrm{Gesamt} & = & \sum & = & 1,000
\end{array}
\)

So.

Mit diesen Informationen kannst Du jetzt den Wahrscheinlichkeitsbaum erstellen. Das Prüfungsergebnis, das die Bedingung sein soll, kommt in die erste Stufe. Das ist das Ergebnis der Physikprüfung. Der Baum sieht dann so aus:

Die entsprechenden relativen Häufigkeiten musst Du natürlich selbst eintragen. Relative Häufigkeiten kannst Du als Wahrscheinlichkeiten interpretieren, weil das Gesetz der großen Zahl gilt. Wenn Du sehr häufig würfelst, dann bekommst Du Werte für die einzelnen möglichen Wurfergebnisse, die sehr nahe am den jeweiligen Erwartungswerten liegen (je häufiger Du würfelst, desto näher).

Dein Ergebnis kannst Du am Wahrscheinlichkeitsbaum überprüfen: Wahrscheinlichkeiten, die auf einer Stufe liegen und von demselben Knoten abzweigen, müssen in der Summe 1 ergeben. Wenn Du dagegen mit dem Finger einen Pfad entlanggehst, dann entspricht das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Wahrscheinlichkeit, die Du unterhalb des letzten Knotens findest (bzw. rechts daneben, wenn Du den Wahrscheinlichkeitsbaum liegend erstellst). Für den Pfad ganz links im abgebildeten Baum würde das zum Beispiel heißen:

$$\textrm{P}(\lnot \textrm{Ph})\cdot \textrm{P}(\lnot Ch|\lnot Ph)=\textrm{P}(\lnot \textrm{Ch}\cap \lnot \textrm{Ph}))$$

So. Und jetzt rechnest Du bitte alles noch einmal mit anderen Zahlen durch, sowohl mit den Tabellen als auch mit Wahrscheinlichkeitsbäumen. Das hat einfach den Sinn, dass Du ein Gefühl dafür bekommst, wie das geht.

Viele Grüße
jake2042