Hypothesentest (Binomialverteilung approximiert zur Normalverteilung)


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Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu dem Video von Daniel: 

https://www.youtube.com/watch?v=OGV4Rhl4opU&lc=z23vupk51tujix5jn04t1aokgesfneyiymk5fmb2hm1wbk0h00410.1563946502870032

Die Aussage min. 65% sagt doch aus, dass dies die Nullhypothese \( H_{0} \: : \: p _{0} \ge 0.65 \) ist?
Entsprechen müsste die Gegenhypothese \( H_{1} \: : \: p_{1} < 0.65 \) sein, oder?

Warum nimmt Daniel dann aber \( H_{1} \: : \: p_{1} \le 0.65 \) für die Gegenhypothese, statt \( H_{1} \: : \: p_{1} < 0.65 \) ?

Dies hat doch einen Einfluss auf die Approximastion, oder?


Meine Version:
\( H_{1} \: : \: p_{1} < 0.65 \)

\( B_{500; 0.65} ( X < k) \le 0.65 \) \( \: \to \: \) \( \Phi (\frac {k - \mu - 0.5} {\sigma}) \le 0.05 \)

Daniels Version : \( H_{1} \: : \: p_{1} \le 0.65 \)

 \(B_{500; 0.65}(X \le k) \le 0.05\) \( \: \to \: \) \( \Phi (\frac {k - \mu + 0.5} {\sigma}) \le 0.05 \)

Meine Fragen dazu:
Wo liegt der unterschied bei uns beiden?  
Warum hat Daniel ein + 0,5 hier auf dem Bruchstrich stehen


\( (k - \nu + 0,5) \)?

Woher kommt das + und warum habe ich ein - da.
Warum habe ich beim Approximieren ich beim nur ein kleiner 
 \( \) und Daniel ein kleiner gleich \( \le \: \), macht das ein Unterschied?

Kann mir da einer helfen?

Gruß ShuShu

 

 

 

gefragt vor 4 Monate, 2 Wochen
s
shushu,
Student, Punkte: 40
 

Es ist nicht ratsam deine Frage immer wieder zu verändern.   -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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2 Antworten
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Da ein linksseitiger H-Test vorliegt, gilt \(H_0:p_0\geq p,\: H_1:p_1< p\).
Hier also mit \(p = 0.65\).

Die Daten im Überblick:

Sei \(X\) die zu testende Größe. Ferner gilt \(X \stackrel{H_0}{\sim} B(n,p),\; X\stackrel{a}{\sim} \mathcal{N}(\mu, \sigma)\).

\(n=500,\\
p=0.65, \\
\mu = 325,\\
\sigma = \sqrt{113.75},\\
\alpha = 0.05\)

Nun ist derjenige kritische Wert \(\zeta\) gesucht, für den noch \(P(X\leq \zeta) \leq \alpha\) gilt.
Bei einem rechtsseitigen Wert wäre \(P(X \geq \zeta) \leq \alpha \Leftrightarrow P(X \leq \zeta-1) \geq 1-\alpha\) gesucht.

Z.B. über die inv. Normalverteilung erhält man den Wert \(\zeta \approx 307.5\), durch Nachprüfen mit der BV ergibt sich \(\zeta = 306\) als kritischer Wert und somit für den Ablehnungsbereich der \(H_0\)-Hypothese: \(\overline{A}=\{0,...,306\}\). 

"Entsprechen müsste die Gegenhypothese \(H_1:p_1<0.65\) sein, oder?"

Ja, wo nutzt Daniel denn \(\leq\) anstatt < für \(H_1\)?


"Warum hat Daniel ein + 0,5 hier auf dem Bruchstrich stehen"

Er nutzt die Stetigkeitskorrektur.

\(P(a \leq X \leq b) \Rightarrow P(a -0.5 \leq X \leq b+0.5)\)

Da hier allerdings von null kumuliert wird, spart man sich den linken Teil.

\(P(X \leq b+0.5)\)

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14.65K
 
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Also ich komme auch auf k = 307, aber glaube auf einen anderen Weg. Wo liegt hier der Unterschied?

Habe die gleichen Lageparameter und die gleichen Hypothesen

\(H_{0} \: : \: p_{0} \ge 0.65 \)

\(H_{1} \: : \: p_{1} < 0.65 \)

 

Nun nehme ich \(H_{1} \) und sage:

\( P ( X < k) \le 0.05 \)  

\( \Phi (\frac {k - \mu - 0.5} {\sigma}) \le 0.05 \)

Da es die \( 0.05 \) in der Sigma - Tabelle nicht gibt wandel ich 0,05 zu \( \Phi (1-0.05) \rightarrow (- \Phi (0.95)) \) um und kann dann den Wert für 0,95 (1,654) aus der Tabelle ablesen. Diesen setzte ich dann auf der rechten Seite ein.


\( \frac {k - \mu - 0.5} {\sigma} \le - 1.645 \)

 

Stelle nun nach k um:

\( k \le - 1.645 * \sigma + \mu + 0.5\)

\( k \le - 1.645 * \sqrt{113.75} + 325 + 0.5\)

\( k \le 307,9555 \)

 

Den Wert runde ich ab. 

\( k = 307 \)

 

Nun definiere ich meinen Ablehnungs- und Annahmebereich für  \( H_{0} \).

\( \bar{A} = \{0 ; ... ; k-1\} \to \bar{A} = \{0 ; ... ; 306 \} \)

\( A = \{k; ... ; n\} \to A = \{307; ... ; n\} \)

 

Was mache ich im Gegensatz zu Dir anderes, bzw. mache ich was falsch?

geantwortet vor 4 Monate, 2 Wochen
s
shushu,
Student, Punkte: 40
 

\{ müsstest Du schreiben – Copy&Paste Fehler ist ebenfalls vorhanden (also musst es zwei Mal korrigieren).   -   einmalmathe, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen

Dein Fehler ist hier, dass du die \(H_1\)-Hypothese zum Testen benutzt, was nicht funktioniert, da du keine genaue WSK angegeben hast. Für \(H_0\) hast du zwar auch keinen exakten Wert wie bei einem zweiseitigen Test oder Alternativtest, aber man beschränkt sich *hier* auf den geringsten Wert, also nicht 0.70, 0.69, ..., sondern 0.65.
Für \(H_1\) hast du aber keinen solchen Wert. Deutlich wird das bei dem zweiseitigen Parametertest \(H_1:p_1\neq p\). Welchen Wert willst du dort für \(p\) benutzen? Es verbleiben die "übrigen" Werte. Deshalb kannst du hier auch nicht direkt den Betafehler berechnen, ohne dass in der Aufgabe eine Info über die exakte WSK (z.B. "Es wird \(p_1 = 0.4\) angenommen") gemacht wird.
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Monate, 2 Wochen
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