Hallo Leute,

meine Frage bezieht sich auf den Beweis zu dem folgenden Satz über die Stetigkeit einer Funktion.

Sei \(f \in C^0([a,b],\mathbb{R})\) und es existiert ein \(x_0 \in [a,b]\) mit \(f(x_0)>0\). Dann gilt für \(x\) mit \(| x - x_0 | < \delta \), dass \(f(x)>0\).

Den Beweisansatz, den ich mir überlegt habt sieht wie folgt aus:

Wegen der Stetigkeit existiert zu \(\epsilon = f(x_0) > 0\) ein \(\delta > 0\), so dass für \(x\) mit \( |x - x_0| < \delta \) gilt, dass \(|f(x) - f(x_0)| < \epsilon = f(x_0)\).

Jetzt fühlt es sich so an, als wäre ich schon fast am Ziel aber ich sehe hier einfach nicht wie ich \(f(x) > 0\) folgern soll. 

Edit: Meine weiteren Gedanken wären nun:

\(|f(x) - f(x_0)| < f(x_0)\)

\( \Leftrightarrow -f(x_0) < f(x) - f(x_0) < f(x_0) \)

\( \Leftrightarrow 0<f(x)<2f(x_0) \)

Falls das so stimmt, war ich ja eigentlich schon am Ziel, war nur zu doof es zu Ende zu bringen.

Wenn da jemand drüberschauen könnte wäre ich sehr dankbar