Definitionsbereich falsch, obwohl nur mit richtiger Rechenregel umgeformt.

Aufrufe: 758     Aktiv: 25.07.2019 um 17:28
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Hallo! Hatten in der letzten „Höhere Mathematik I.2“ Klausur eine Kurvendiskussion Aufgabe. Es geht um folgende Funktion:

f(x) = \( \sqrt{x*(x-1)*(x+1)} \) 

 

Für diese Funktion soll man unter anderem den Definitionsbereich bestimmen. Nun war mein erster Gedanke, die Wurzel auseinander zu ziehen. Das darf man ja bei einem Produkt unter der Wurzel. Somit würden alle negativen Zahlen rausfallen. Dies ist aber nicht richtig, da der tatsächliche Definitionsbereich von -1 bis 0 und von 1 bis unendlich geht. 

 

Die Frage ist jetzt, warum? Warum ändert sich der Def.- Bereich fälschlicherweise, obwohl ich nur die Wurzel anders hinschreibe?

 

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Was genau meinst du mit "Somit würden alle negativen Zahlen rausfallen".
  ─   jordan 25.07.2019 um 16:49

Naja ein Teil des Produktes ist ja dann \( \sqrt{x} \), und hier darf man für x keine negativen Zahlen einsetzen.
  ─   stradlater 25.07.2019 um 16:51
Ja, danke, hab die Befehle noch nicht so raus :D   ─   stradlater 25.07.2019 um 16:56
Ganz genau, ein Term ist dann \(\sqrt{x}\). Dann fasse diesen mal als einzelne Funktion auf und bestimme davon den Definitionsbereich. PS: Mit LaTeX-Befehlen wie \sqrt() zwischen \( \( \) und \( \) \)kannst du Symbole wie zum Beispiel die Quadratwurzel darstellen.
  ─   jordan 25.07.2019 um 16:57
\sqrt{x}, dann fallen auch die Klammern weg.   ─   einmalmathe 25.07.2019 um 17:00
Ja, noch besser, danke :)   ─   jordan 25.07.2019 um 17:03
So, angepasst!
   ─   stradlater 25.07.2019 um 17:07
Sehr schön
   ─   jordan 25.07.2019 um 17:09
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Hallo!

 

\(\displaystyle  n(x) := x(x+1)(x-1)\).

 

Wir berechnen:

 

\(\displaystyle  n(x) \overset{!}{=} 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x_{1,2,3} = -1,0,1 \).

 

Außerdem gilt, dass \(\displaystyle  n(x) = x^3 + O(x^2)\), also \(\displaystyle  \lim_{x\to\pm\infty} n(x) = \pm\infty\). Aus diesen Bedingungen folgt, dass die Funktion zwangsläufig \(\displaystyle  < 0\) für einen gewissen Bereich sein muss (Zwischenwertsatz).

 

Betrachten wir die Intervalle \(\displaystyle  [-1,0]\), \(\displaystyle [1,\infty) \), so stellen wir fest, dass

 

\(\displaystyle\bullet\quad x\leq 0, \quad (x+1) \geq 0, \quad (x-1) < 0  \) und somit insgesamt positiv ist (analog für das letzte Intervall), jedoch für das Intervall \(\displaystyle  (0,1)\) diese Bedingung nicht gegeben ist.

 

Zur Veranschaulichung kannst Du Dir mal \(\displaystyle  n(x)\) plotten.

 

Gruß.

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Okay, danke! Hat schonmal weitergeholfen. Ich hab mir die Funktion mal angesehen und dadurch hab ich erst gesehen, dass der Def.-Bereich anders sein muss.   ─   stradlater 25.07.2019 um 16:53
Wovon muss der Definitionsbereich anders sein?
   ─   jordan 25.07.2019 um 17:04
@jordan: Wen meinst Du?   ─   einmalmathe 25.07.2019 um 17:08

@einmalmathe Sorry, ich bezog mich auf den Kommentar von @stradlater.
   ─   jordan 25.07.2019 um 17:12
@jordan: Ach so, kein Problem. ;)   ─   einmalmathe 25.07.2019 um 17:12
Ich habe tatsächlich noch das Gefühl, denn je nach dem wie ich die Funktion in den Grafikrechner eintippe, kommt ein anderer Graph raus xd   ─   stradlater 25.07.2019 um 17:25
Hab mal die zwei Bilder unten reingestellt. Das meinte ich.   ─   stradlater 25.07.2019 um 17:28

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