Definitionsbereich falsch, obwohl nur mit richtiger Rechenregel umgeformt.

Aufrufe: 105     Aktiv: vor 10 Monate

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Hallo! Hatten in der letzten „Höhere Mathematik I.2“ Klausur eine Kurvendiskussion Aufgabe. Es geht um folgende Funktion:

f(x) = \( \sqrt{x*(x-1)*(x+1)} \) 

 

Für diese Funktion soll man unter anderem den Definitionsbereich bestimmen. Nun war mein erster Gedanke, die Wurzel auseinander zu ziehen. Das darf man ja bei einem Produkt unter der Wurzel. Somit würden alle negativen Zahlen rausfallen. Dies ist aber nicht richtig, da der tatsächliche Definitionsbereich von -1 bis 0 und von 1 bis unendlich geht. 

 

Die Frage ist jetzt, warum? Warum ändert sich der Def.- Bereich fälschlicherweise, obwohl ich nur die Wurzel anders hinschreibe?

 

 

gefragt vor 10 Monate
s
stradlater,
Student, Punkte: 25
 


Was genau meinst du mit "Somit würden alle negativen Zahlen rausfallen".
  -   jordan, vor 10 Monate


Naja ein Teil des Produktes ist ja dann \( \sqrt{x} \), und hier darf man für x keine negativen Zahlen einsetzen.
  -   stradlater, vor 10 Monate

Ja, danke, hab die Befehle noch nicht so raus :D   -   stradlater, vor 10 Monate

Ganz genau, ein Term ist dann \(\sqrt{x}\). Dann fasse diesen mal als einzelne Funktion auf und bestimme davon den Definitionsbereich. PS: Mit LaTeX-Befehlen wie \sqrt() zwischen \( \( \) und \( \) \)kannst du Symbole wie zum Beispiel die Quadratwurzel darstellen.
  -   jordan, vor 10 Monate

\sqrt{x}, dann fallen auch die Klammern weg.   -   einmalmathe, verified vor 10 Monate

Ja, noch besser, danke :)   -   jordan, vor 10 Monate

So, angepasst!
  -   stradlater, vor 10 Monate

Sehr schön
  -   jordan, vor 10 Monate
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3 Antworten
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Hallo!

 

\(\displaystyle  n(x) := x(x+1)(x-1)\).

 

Wir berechnen:

 

\(\displaystyle  n(x) \overset{!}{=} 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x_{1,2,3} = -1,0,1 \).

 

Außerdem gilt, dass \(\displaystyle  n(x) = x^3 + O(x^2)\), also \(\displaystyle  \lim_{x\to\pm\infty} n(x) = \pm\infty\). Aus diesen Bedingungen folgt, dass die Funktion zwangsläufig \(\displaystyle  < 0\) für einen gewissen Bereich sein muss (Zwischenwertsatz).

 

Betrachten wir die Intervalle \(\displaystyle  [-1,0]\), \(\displaystyle [1,\infty) \), so stellen wir fest, dass

 

\(\displaystyle\bullet\quad x\leq 0, \quad (x+1) \geq 0, \quad (x-1) < 0  \) und somit insgesamt positiv ist (analog für das letzte Intervall), jedoch für das Intervall \(\displaystyle  (0,1)\) diese Bedingung nicht gegeben ist.

 

Zur Veranschaulichung kannst Du Dir mal \(\displaystyle  n(x)\) plotten.

 

Gruß.

geantwortet vor 10 Monate
e
einmalmathe verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.55K
 

Okay, danke! Hat schonmal weitergeholfen. Ich hab mir die Funktion mal angesehen und dadurch hab ich erst gesehen, dass der Def.-Bereich anders sein muss.   -   stradlater, vor 10 Monate

Wovon muss der Definitionsbereich anders sein?
  -   jordan, vor 10 Monate

@jordan: Wen meinst Du?   -   einmalmathe, verified vor 10 Monate


@einmalmathe Sorry, ich bezog mich auf den Kommentar von @stradlater.
  -   jordan, vor 10 Monate

@jordan: Ach so, kein Problem. ;)   -   einmalmathe, verified vor 10 Monate

Ich habe tatsächlich noch das Gefühl, denn je nach dem wie ich die Funktion in den Grafikrechner eintippe, kommt ein anderer Graph raus xd   -   stradlater, vor 10 Monate

Hab mal die zwei Bilder unten reingestellt. Das meinte ich.   -   stradlater, vor 10 Monate
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geantwortet vor 10 Monate
s
stradlater
Student, Punkte: 25
 
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geantwortet vor 10 Monate
s
stradlater
Student, Punkte: 25
 
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