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"sigma = 1,5492"
Ist schon mal ein gutes Indiz dafür, dass man die Binomialverteilung besser nicht durch die Normalverteilung approximieren sollte, und wenn nur mit Stetigkeitskorrektur.
Sei \(X\) die Anzahl der geschossenen Tore, ferner gilt \(X \sim B(15,0.2)\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens drei Tore geschossen werden, beträgt demnach
\(P(X > 3) = 1-P(X\leq 2) =1- \displaystyle\sum\limits_{i=0}^2 \displaystyle\binom{15}{i}\cdot 0.2^i\cdot 0.8^{15-i}=1- F(2;15,0.2) \approx 25.2\%\).
Gilt nun \(X \stackrel{a}{\sim}\mathcal{N}(3,2.4)\), so erhält man
\(P(X > 3) = 1- P(X\leq 3) = 1- \Phi \left(\dfrac{3-3}{\sqrt{2.4}}\right) = 1-\Phi(0) = 50\%\)
bzw. \(1-P(X\leq 3+0.5) = 1-\Phi \left(\dfrac{3+0.5-3}{\sqrt{2.4}}\right) \approx 37.3\%\).
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