Hallo,

zur a) Wir haben eine \( 4 \times 3-\)Matrix und erhälst eine \( 4 \times 1-\) Matrix (Vektor). Für die Matrixmultiplikation gilt stets

\( (m \times n) \cdot (n \times l) = m \times l \) 

Unsere Lösung übernimmt also die Zeilenanzahl der ersten Matrix und die Spaltenanzahl der zweiten (Vektor x). 
Kommst du drauf wie viele Zeilen \( \vec{x} \) hat?

Zur d) geht es hier um den Rang der erweiterten Koeffizienten Matrix? Ich gehe mal davon aus, da nur in deinem Lösungsvektor ein \( b \) vorkommt. 

Macceroni_Konstante hat es dir ja sehr sauber vorgerechnet. Betrachte nun mal den letzten Schritt in seinem Rechenweg. 
Wenn \( b= 1 \) dann haben wir unten zwei Nullzeilen und somit nur einen Rang von 2. 
Nun setze doch mal beliebige Werte für b ein. Gibt es ein anderes b für das wir Nullzeilen erhalten?
Wenn wir hier keine Nullzeile erhalten, dann bedeutet dass das es keine Lösung gibt. Wir erhalten dann nämlich beispielsweise für \( b=2 \) 

\( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & -1 \end{matrix} \)

Dies ist nicht lösbar, da \( 0 \neq 1 \) und \( 0 \neq -1 \). 

Wenn wir keine Nullzeile haben, erhöht sich zudem der Rang (Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten).

Grüße Christian

\(\begin{pmatrix}1 & 3 & 2\\ -2 & 1 &4 \\ 3&  2& -2\\ 0&  7& 8   \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ -7\\ 12+b\\6-b\end{pmatrix} \\\Leftrightarrow \begin{pmatrix}x & 3y & 2z\\ -2x & y &4z \\ 3x&  2y& -2z\\ 0&  7y& 8z   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ -7\\ 12+b\\6-b\end{pmatrix}\)

Löse ich dieses LGS erhalte ich \(b=1,\; x=\dfrac{10z}{7}+\dfrac{27}{7},\; y=-\dfrac{8z}{7}+\dfrac{5}{7}\).