Hallo,
im Falle einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten (wie hier) lässt sich mit Hilfe des Exponentialansatzes mit komplexen Lösungen für \( \lambda \) noch eine weitere Darstellung herleiten. Nämlich diese die Daniel genutzt hat.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die allgemeine Form
\( y'' + a_1 y' + a_2 y = 0 \)
Wir erhalten die charakteristische Funktion
\( \lambda^2 + a_1 \lambda + a_2 = 0 \)
Wenn diese Gleichung nun komplexe Nullstellen hat, so sind diese automatisch zueinander komplex Konjugiert, also
\( \lambda_1 = a+ bi \\ \Rightarrow \lambda_2 = a- bi \)
Wir würden also die Lösungen
\( C_1 e^{(a+bi)x} = C_1 e^{ax} e^{bix} \\ C_1 e^{(a-bi)x} = C_1 e^{ax} e^{-bix}\)
erhalten und somit als allgemeine Lösung
\( y(x) = y_1(x) + y_2(x) = e^{ax} ( C_1 e^{bix} + C_2 e^{-bix} ) \)
Mit Hilfe der Eulerschen Formel \( e^{iy} = \cos(y) + i \sin(y) \) erhalten wir
\( y(x) = e^{ax} [C_1 (\cos(bx) + i \sin(bx) ) + C_2 (\cos(bx) - i \sin(bx) )] \\ = e^{ax} [(C_1 + C_2) \cos(bx) + (C_1 - C_2) i \sin(bx)] \)
Wir setzen die neuen Konstanten \( D =C_1 + C_2 \) und \( E= (C_1 - C_2)i \).
\( \Rightarrow y(x) = e^{ax} (D \cos(bx) + E \sin(bx) ) \)
Man macht das ganze, damit man eine reelle Lösung erhält und somit leichter mit reellen Werten wie beispielsweise den Randbedingungen weiter rechnen kann.
Angewendet auf deine Aufgabe erhalten wir mit den Nullstellen des charakteristischen Polynoms
\( \lambda_{1/2} = \pm \pi i \)
Also gilt \( a = 0 \) und \( b = \pi \). Setzen wir das in unsere allgemeine Lösung ein erhalten wir
\( y(x) = e^{0x} (D \cos(\pi x) + E \sin(\pi x)) = (D \cos(\pi x) + E \sin(\pi x)) \)
Grüße Christian
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Hätten wir das \( i \) nicht mit in die Konstante gezogen, würde wir für die Konstane \( \tilde{E} = \frac E i \) eine komplexe Lösungs erhalten und durch Multiplikation mit \( i \) würden wir dann eine reelle Lösung erhalten.
Man will sich hier also im Grunde Schreibarbeit sparen :)
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Grüße Christian ─ christian_strack 08.08.2019 um 10:22