Schriftlich Multiplizieren ohne Einmaleins. Die russische Bauernmultiplikation


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Wie wird normalerweise schriftlich multipliziert? So:

\begin{array}{cccccc}
2 & 4 & \cdot & 1 & 2 & 3\\
\hline 
&  & 2 & 4\\
 &  &  & 4 & 8\\
 &  &  & _{1} & 7 & 2\\
\hline 
&  & 2 & 9 & 5 & 2
\end{array}

Das erfordert die Kenntnis des kleinen Einmaleins. [1] Es ist aber auch möglich, ohne das kleine Einmaleins schriftlich zu multiplizieren. Alles, was dazu nötig ist, ist verdoppeln und halbieren zu können.

 

Vorgehensweise

Die russische Bauernmultiplikation ist eine ziemlich verblüffende Methode. Dabei wird zunächst ein Faktor immer halbiert bis der Wert 1 erreicht ist. Wenn eine ungerade Zahl halbiert werden soll, dann wird das Ergebnis abgerundet. Wird beispielsweise 3 halbiert, dann käme eigentlich 1,5 heraus. Das wird dann aber auf 1 abgerundet. Zu demselben Ergebnis führt es, wenn statt der 3 die direkt darunter liegende natürliche Zahl, d.h. die 2, halbiert wird. Für unsere Beispielaufgabe sieht das dann so aus:

\begin{array}{r|r}
24 & 123\\
12\\
6\\
3\\
1
\end{array}

Der andere Faktor wird dagegen immer verdoppelt. In unserem Beispiel:

\begin{array}{r|r}
24 & 123\\
12 & 246\\
6 & 492\\
3 & 984\\
1 & 1968
\end{array}

Im nächsten Schritt werden alle Zeilen durchgestrichen (oder, wie hier, ausradiert), bei denen in der Spalte des immer zu halbierenden Faktors eine gerade Zahl steht:

\begin{array}{r|r}
24 & \\
12 & \\
6 & \\
3 & 984\\
1 & 1968
\end{array}

Schließlich werden die stehen gebliebenen Zahlen in der Spalte des immer zu verdoppelnden Faktors, hier also 984 und 1968, auf übliche Weise addiert:

 

\begin{array}{r|rrrr}
24\\
12\\
6\\
3 &  & 9\hspace{-1ex} & 8\hspace{-1ex} & 4\\
1 & 1\hspace{-1ex} & 9\hspace{-1ex} & 6\hspace{-1ex} & 8\\
 & 1\hspace{-1ex} & 1\hspace{-1ex} & 1\hspace{-1ex}\\
\hline
& 2\hspace{-1ex} & 9\hspace{-1ex} & 5\hspace{-1ex} & 2
\end{array}

Welcher Faktor immer halbiert und welcher verdoppelt wird ist vom Ergebnis her gleichgültig. Es bietet sich aber an, den kleineren Faktor zu halbieren, weil dann weniger Zeilen entstehen.

 

 

Erklärung

Es ist schon erstaunlich, dass das funktioniert. Aber was steckt dahinter? Im Prinzip wird der Faktor, der halbiert wird, in seine Binärschreibweise aufgelöst. So wird beispielsweise aus 24 die Binärzahl \(11000_{(2)}\):

\begin{array}{c|rcccr}
2^{0} & 1 & \cdot & 0 &  = & 0\\
2^{1} & 2 & \cdot & 0 &  = & 0\\
2^{2} & 4 & \cdot & 0 & = & 0\\
2^{3} & 8 & \cdot & 1 & = & 8\\
2^{4} & 16 & \cdot & 1 & = & 16\\
\hline
\sum &  &  &  &  &  24
\end{array}

Jede Binärstelle des Faktors, der halbiert wird, wird mit dem Faktor, der verdoppelt wird, multipliziert. In unserem Beispiel ist das Ergebnis:

\begin{array}{c|rcccccr}
2^{0} & 1 & \cdot & 0 & \cdot & 123 & = & 0\\
2^{1} & 2 & \cdot & 0 & \cdot & 123 & = & 0\\
2^{2} & 4 & \cdot & 0 & \cdot & 123 & = & 0\\
2^{3} & 8 & \cdot & 1 & \cdot & 123 & = & 984\\
2^{4} & 16 & \cdot & 1 & \cdot & 123 & = & 1968\\
\hline
\sum &  &  &  &  &  &  & 2952
\end{array}

Im Grunde genommen entsprechen diejenigen Zeilen, die eine binäre 0 des zu halbierenden Faktors enthalten den Zeilen in der russischen Bauernmultiplikation, in denen die Ergebnisse der Halbierungen gerade sind. Multiplikation mit 0 entspricht Streichung der Zeile.

 

Geschichte

Die russische Bauernmultiplikation heißt deshalb so, weil sie bei den Bauern des zaristischen Russland sehr beliebt gewesen ist. Da die meisten Bauern keine Schule besuchen konnten und deshalb des Einmaleins nicht beherrschten, brauchten sie eine Methode, um Preise, Pachten usw. kontrollieren und kalkulieren zu können.

An sich ist die Methode aber noch sehr viel älter. sie war in den antiken Kulturen des nahen Ostens und in Ägypten bereits bekannt und weit verbreitet.

 

Quellen

Wikipedia-Arikel
https://de.wikipedia.org/wiki/Russische_Bauernmultiplikation

Ein weiterer Artikel, der den Hintergrund gut erklärt
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/russischebauernmultiplikation.htm

Verschiedene Formen schriflicher Multiplikation
https://1drv.ms/b/s!AhSmXwQDkCvagfgNVcBR6-n6sTTFBA?e=AM9Nqc
Dieser Artikel ist von mir und erkärt neben der russischen Bauernmultiplikation auch noch zwei »vedische«, das heißt indische, Verfahren. In diesem Artikel sind auch noch weitere Quellen angegeben.

 

Anmerkungen

[1]
Meine Empfehlung an dieser Stelle ist, sich die Dinge dadurch einfacher zu machen, dass die Zahlen sauber untereinander geschrieben werden und die Übertragszahlen »im Kopf« immer in eine in eine Extrazeile geschrieben werden. Das Beispiel oben sähe dann so aus:

\begin{array}{cccccc}
2 & 4 & \cdot & 1 & 2 & 3\\
\hline 
&  & 2 & 4\\
 &  &  & 4 & 8\\
 &  &  &  & 6 & 2\\
 &  &  &  & 1\\
 &  &  & 1\\
\hline 
&  & 2 & 9 & 5 & 2
\end{array}

 

 

Mathe Artikel, geschrieben vor 3 Monate, 2 Wochen
jake2042, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.2K
 

Sehr cool :D. Das kannte ich bisher gar nicht. Das merk ich mir! ;)   -   orthando, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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