Hallo!
Da die Funktion \(\displaystyle f(x) = x+1\) Riemann-integrierbar ist, konvergieren sowohl die Unter- als auch die Obersumme gegen den gleichen Wert. Wir integrieren hierbei auf dem Intervall \(\displaystyle [0,a]\), was zur Folge hat, dass die Maschenweite \(\displaystyle \frac{a-0}{n} = \frac{a}{n}\) beträgt. Für die Funktion bedeutet dies im Umkehrschluss, dass wir folgende Summe bilden (\(\displaystyle f(k\cdot a\div n)\)):
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{a}{n}\cdot\left(k\cdot\frac{a}{n}+1\right)\right) = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{a^2}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{n^2} + a\cdot\frac{n+1}{n}\right) = \frac{a^2}{2} + a\).
Zur Überprüfung:
\(\displaystyle \int_{0}^{a} x + 1\,\mathrm{d}x = \left. \frac{x^2}{2}+x\right\vert_{0}^{a} = \frac{a^2}{2} + a\).
Gruß.
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LG ─ lina1399 18.08.2019 um 17:47