Polstellen bestimmst du, in dem du schaust, wann dein Nenner Null wird.

\( x³ + 1 = 0 \)

Beim Vorzeichenwechsel setzt du dann x-Werte ein, die kurz vor und kurz hinter der Polstelle liegen.

Läge deine Polstelle zum Beispiel bei x = 2, dann schaust du einmal bei x = 1,9 und x = 2,1 nach.

So sieht deine Funktion aus. `1/(x^3+1)`

Der Nenner ist null wenn gilt: `x^3+1=0` also `x^3=-1` und somit `x=-1`

Offensichtlich ist die Polstelle nur bei -1.

Also musst du auch nur Werte betrachten, die ein bisschen größer oder kleiner als -1 sind.

Wenn dein x etwas kleiner als minus 1 ist (z.B. -1,1) dann ist dein Nenner negativ (und der Zähler positiv) und die Funktion geht gegen minus unendlich. 

Wenn dein x etwas größer als minus 1 ist (z.B. -0,9) dann ist dein Nenner positiv (und der Zähler bleibt positiv) und die Funktion geht gegen plus unendlich. 

Wenn sich das Vorzeichen deines Bruches an der Nullstelle des Nenners ändert, liegt also eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

Mathematisch gibt es mehrere Möglichkeiten zu prüfen, ob die Polstelle ein Vorzeichenwechsel aufweist.

Sei \(f(x)\) eine Funktion mit Polstelle an der Stelle \(x=x_0\), so existiert kein Vorzeichenwechsel, wenn sich die Funktion an dieser Stelle gleichartig annähert, sprich:

$$\lim\limits_{x\nearrow x_0} f(x) = \lim\limits_{x\searrow x_0} f(x)$$

Eine andere Möglichkeit ist es, die Vielfachheit der Nullstelle des Nenners zu untersuchen. Ist die Vielfachheit gerade, so liegt kein VZW vor. Ist sie ungerade, so liegt ein VZW vor.

\(x^3+1\) weißt an der Stelle \(x=-1\) eine einfache Nullstelle auf, daher existiert an dieser Stelle ein VZW.