Polstelle bestimmen

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Wie bestimmt man bei der Funktion y=1/x^3+1 die Polstelle und erkennt ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt?

 

gefragt vor 11 Monate, 4 Wochen
p

 
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3 Antworten
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Polstellen bestimmst du, in dem du schaust, wann dein Nenner Null wird.

\( x³ + 1 = 0 \)

 

Beim Vorzeichenwechsel setzt du dann x-Werte ein, die kurz vor und kurz hinter der Polstelle liegen.

Läge deine Polstelle zum Beispiel bei x = 2, dann schaust du einmal bei x = 1,9 und x = 2,1 nach.

geantwortet vor 11 Monate, 4 Wochen
mcbonnes
Auszubildender, Punkte: 871
 

Alles klar, dankeschön. Also müsste ich in meinem Fall +-1,+-2 einsetzen?

Wie erkenne ich dann aber ob überhaupt ein Vorzeichenwechsel vorliegt?

  ─   philippjaeger, vor 11 Monate, 4 Wochen
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So sieht deine Funktion aus. `1/(x^3+1)`

Der Nenner ist null wenn gilt: `x^3+1=0` also `x^3=-1` und somit `x=-1`

Offensichtlich ist die Polstelle nur bei -1.

Also musst du auch nur Werte betrachten, die ein bisschen größer oder kleiner als -1 sind.

Wenn dein x etwas kleiner als minus 1 ist (z.B. -1,1) dann ist dein Nenner negativ (und der Zähler positiv) und die Funktion geht gegen minus unendlich. 

Wenn dein x etwas größer als minus 1 ist (z.B. -0,9) dann ist dein Nenner positiv (und der Zähler bleibt positiv) und die Funktion geht gegen plus unendlich. 

Wenn sich das Vorzeichen deines Bruches an der Nullstelle des Nenners ändert, liegt also eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

 

geantwortet vor 11 Monate, 4 Wochen
vt5 verified
Student, Punkte: 5.07K
 
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Mathematisch gibt es mehrere Möglichkeiten zu prüfen, ob die Polstelle ein Vorzeichenwechsel aufweist.

Sei \(f(x)\) eine Funktion mit Polstelle an der Stelle \(x=x_0\), so existiert kein Vorzeichenwechsel, wenn sich die Funktion an dieser Stelle gleichartig annähert, sprich:

$$\lim\limits_{x\nearrow x_0} f(x) = \lim\limits_{x\searrow x_0} f(x)$$


Eine andere Möglichkeit ist es, die Vielfachheit der Nullstelle des Nenners zu untersuchen. Ist die Vielfachheit gerade, so liegt kein VZW vor. Ist sie ungerade, so liegt ein VZW vor.

\(x^3+1\) weißt an der Stelle \(x=-1\) eine einfache Nullstelle auf, daher existiert an dieser Stelle ein VZW.

geantwortet vor 11 Monate, 4 Wochen
m
maccheroni_konstante verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16.46K
 

Vielen dank für deine Antwort, das hat mit geholfen!

  ─   philippjaeger, vor 11 Monate, 3 Wochen
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