Hallo denno345,

Du hast ja schon verraten, dass aus 12 Personen 66 verschiedene 2er-Gruppen gebildet werden können. Das ist dann auch die Anzahl der möglichen 2er-Kombinationen bei der ersten 2er-Gruppe. Bei der 2. 2er-Gruppe gibt es zwei Personen weniger, die kombiniert werden können (weil die schon in der 1. 2er-Gruppe stecken). Die erste dieser zwei Personen kann mit jeder der 11 anderen Personen kombiniert werden. Das macht 11 Möglichkeiten weniger. Die zweite Person kann auch mit den 11 anderen Personen kombniert werden, aber die Kombiniation mit der ersten Person ist gewissermaßen schon weg (weil die bei der ersten Person schon gezählt worden ist). Deshalb gibt es bei der zweiten Person 10 Möglichkeiten, die abgzogen werden müssen. Für die 2. 2er-Gruppe gibt es deshalb nur \(66-(11+10)\) Kombinationsmöglichkeiten. Da jetzt bekannt ist, wo der Hase langläuft, kann gerechnet werden:

\begin{array}{l|rclcr}
\textrm{1. 2er-Gruppe} & 66 & = & 66-0 & = & 66\\
\textrm{2. 2er-Gruppe} & 66-(11+10) & = & 66-21 & = & 45\\
\textrm{3. 2er-Gruppe} & 66-(11+10+9+8) & = & 66-38 & = & 28\\
\textrm{4. 2er-Gruppe} & 66-(11+10+9+8+7+6) & = & 66-51 & = & 15\\
\textrm{5. 2er-Gruppe} & 66-(11+10+9+8+7+6+5+4) & = & 66-60 & = & 6\\
\textrm{6. 2er-Gruppe} & 66-(11+10+9+8+7+6+5+4+3+2) & = & 66-65 & = & 1\\
\hline
\sum &  &  &  &  & 161
\end{array}

Es gibt also insgesamt 161 Möglichkeiten, aus 12 Personen 6 2er-Gruppen zu bilden.

Insgesamt ist das jetzt kein eleganter Lösungsweg. Immerhin müssen in den Klammern jede Menge einzelne Zahlen addiert werden. Da hilft zwar der kleine Gaus (oder der Taschenrechner), aber es gibt mit Sicherheit auch eine Möglichkeit, das per Formel auszurechnen. Das müsste ich dann aber noch einmal recherchieren.

Viele Grüße
jake2042

Hallo denno345,

jetzt bin ich drauf gekommen. Es ist ganz einfach:

\begin{array}{l|rcccr}
\textrm{1. 2er-Gruppe} & \frac{12!}{(12-2)!\cdot2!} & = & \frac{479\,001\,600}{7\,257\,600} & = & 66\\
\textrm{2. 2er-Gruppe} & \frac{10!}{(10-2)!\cdot2!} & = & \frac{3\,628\,800}{80\,640} & = & 45\\
\textrm{3. 2er-Gruppe} & \frac{8!}{(8-2)!\cdot2!} & = & \frac{40\,320}{1440} & = & 28\\
\textrm{4. 2er-Gruppe} & \frac{6!}{(6-2)!\cdot2!} & = & \frac{720}{48} & = & 15\\
\textrm{5. 2er-Gruppe} & \frac{4!}{(4-2)!\cdot2!} & = & \frac{24}{4} & = & 6\\
\textrm{6. 2er-Gruppe} & \frac{2!}{(2-2)!\cdot2!} & = & \frac{2}{2} & = & 1\\
\hline
\sum &  &  &  &  & 161
\end{array}

Erklärung

Bei der 1. 2er-Gruppe stehen 12 Personen zur Verfügung, aus denen 2 gezogen werden. Das macht \(\binom{12}{2}\) Kombinationsmöglichkeiten für die zwei Leute in der Gruppe. Bei der 2. 2er-Gruppe sind 2 von den 12 Personen schon weg und es stehen nur noch 10 Personen zur Verfügung, aus denen 2 gezogen werden. Das macht \(\binom{10}{2}\) Kombinationsmöglichkeiten für die zwei Leute in der Gruppe. So geht das weiter: 3. 2er-Gruppe: \(\binom{8}{2}\), 4. 2er-Gruppe: \(\binom{6}{2}\), 5. 2er-Gruppe: \(\binom{4}{2}\) und bei der 6. 2er-Gruppe bleiben nur noch 2 Personen übrig, aus denen 2 Personen gezogen werden: \(\binom{2}{2}\).

Viele Grüße
jake2042

Nachdem das über einen Kommentar nicht geklappt hat, versuche ich es jetzt noch einmal als weitere reguläre Antwort.

Dieselben Zahlen können auch über das Pascalsche Dreieck bestimmt werden. Nur ist das etwas tricky und unnötig viel Rechnerei. Das sieht dann nämlich so aus:

\begin{array}{ccccccccccccccccccccccccc}
 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1\\
 &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & 1 &  & 1\\
 &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \mathbf{\left(1\right)} &  & 2 &  & \left(\mathbf{1}\right)\\
 &  &  &  &  &  &  &  &  & 1 &  & 3 &  & 3 &  & 1\\
 &  &  &  &  &  &  &  & 1 &  & 4 &  & \left(\mathbf{6}\right) &  & 4 &  & 1\\
 &  &  &  &  &  &  & 1 &  & 5 &  & 10 &  & 10 &  & 5 &  & 1\\
 &  &  &  &  &  & 1 &  & 6 &  & \left(\mathbf{15}\right) &  & 20 &  & \mathbf{\left(15\right)} &  & 6 &  & 1\\
 &  &  &  &  & 1 &  & 7 &  & 21 &  & 35 &  & 35 &  & 21 &  & 7 &  & 1\\
 &  &  &  & 1 &  & 8 &  & \left(\mathbf{28}\right) &  & 56 &  & 70 &  & 56 &  & \mathbf{\left(28\right)} &  & 8 &  & 1\\
 &  &  & 1 &  & 9 &  & 36 &  & 84 &  & 126 &  & 126 &  & 84 &  & 36 &  & 9 &  & 1\\
 &  & 1 &  & 10 &  & \mathbf{\left(45\right)} &  & 120 &  & 210 &  & 252 &  & 210 &  & 120 &  & \left(\mathbf{45}\right) &  & 10 &  & 1\\
 & 1 &  & 11 &  & 55 &  & 165 &  & 330 &  & 462 &  & 462 &  & 330 &  & 165 &  & 55 &  & 11 &  & 1\\
1 &  & 12 &  & \left(\mathbf{66}\right) &  & 220 &  & 495 &  & 792 &  & 924 &  & 792 &  & 495 &  & 220 &  & \left(\mathbf{66}\right) &  & 12 &  & 1
\end{array}

Die fetten und eingeklammerten Zahlen sind die, die gesucht sind.

Viele Grüße
jake2042                

Hallo denno345,

bei Deiner Antwort mit den mehr als 7,4 Millionen Möglichkeiten wahr ich zuerst überrascht und habe gedacht, ein so hohes Ergebnis könne gar nicht sein. Inzwischen bin ich mir ziemlich sicher, dass es noch viel mehr sind, nämlich \(\binom{66}{6}=90\,858\,768\) Möglichkeiten. 

Zunächst habe ich mir folgendes überlegt: wenn ich eine bestimmte Anzahl an Personen habe, dann kann ich sie in eine bestimmte Anzahl an möglichen Zweiergruppen aufteilen. Bei 4 Personen habe ich zum Beispiel \(3+2+1=\frac{3\cdot 4}{2}=6\) Zweiergruppen:

\begin{array}{|c|c|}
\hline
\textrm{Nummer} & \textrm{mögliche Zweiergruppen}\\
\hline
1 & AB\\
2 & AC\\
3 & AD\\
4 & BC\\
5 & BD\\
6 & CD\\
\hline
\end{array}

Diese Zweiergruppenkombinationen betrachte ich jetzt als 6 einzelne Karten. Wenn ich diese 6 Karten ohne Beachtung der Reihenfolge auf 2 Plätze verteilen will, dann habe ich dafür \(5+4+3+2+1=\frac{5\cdot 6}{2}=15\) Möglichkeiten. Im Prinzip ist das aber der Binomialkoeffizient mit \(n=6\) und \(k=2\), wie Gleichung (1) zeigt.

$$\binom{6}{2}=\frac{6!}{\left(6-2\right)!\cdot 2!}=\frac{720}{48}=15 \tag{1}$$

Bei 6 Personen habe ich bereits \(5+4+3+2+1=\frac{5\cdot 6}{2}=15\) Möglichkeiten, Zweiergruppen zu bilden. Diese 15 Karten verteile ich jetzt auf 3 Plätze. Wenn die Reihenfolge eine Rolle spielen würde, also die Kombination (Parung 3, Paarung 15, Paarung 9) eine andere ist als zum Beispiel (Paarung 9, Paarung 3, Paarung 15), dann habe ich für die erste Zweiergruppe 15 Paarungsmöglichkeiten, für die zweite \(15-1=14\) Paarungsmöglichkeiten (eine Paarungsmöglichkeit ist ja schon weg) und für die dritte Zweiergruppe \(15-2=13\) Paarungsmöglichkeiten (weil zwei Paarungsmöglichkeiten durch die erste und die zweite Zweiergruppe schon weg sind). Das bedeutet, ich habe bei 6 Personen bereits \(15\cdot 14\cdot 13=2730\) Möglichkeiten, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt. Das ist identisch mit Gleichung (2). [1]

$$(15)_{3}=\frac{15!}{\left(15-3\right)!}=2730 \tag{2}$$

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen soll, dann müssen die möglichen Permutationen herausgerechnet werden. Wenn ich drei Spielkarten habe, die ich von links nach rechts vor mich hinlege, dann habe ich \(3!=6\) Möglichkeiten, das zu tun. Ohne die Berücksichtigung der Reihenfolge habe ich also \(\frac{2730}{6}=455\) verschiedene Möglichkeiten, 3 Zweiergruppen aus 6 Personen zu bilden. Das ist aber identich mit dem Binomialkoeffizienten für \(\binom{15}{3}\), wie Gleichung (3) zeigt.

$$\binom{15}{3}=\frac{15!}{\left(15-3\right)!\cdot 3!}=455 \tag{3}$$

So.

Jetzt ist bekannt, wie die Anzahl der Möglichkeiten, verschiedene Zweiergruppen zu bilden, wenn eine Bestimmte Anzahl Personen gegeben ist, errechet werden kann. Das wird auf die ursprüngliche Aufgabestellung angewandt.

Gegeben ist

• 12 Personen
• 6 Gruppen
• 2 Personen pro Gruppe

Zunächst muss ermittelt werden, wieviele Paarungen bei 12 Personen überhaupt gebildet werden können. Das hast du in der Aufgabenstellung zwar schon verraten, aber ich exerziere das jetzt von Anfang an durch. Diese Frage kann über den kleinen Gaus beantwortet werden, siehe Gleichung (4).

$$\textrm{Anzahl Paarungen}=11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=\frac{11\cdot 12}{2}=66 \tag{4}$$

Nach dem, was bei 4 und bei 6 Personen herausgefunden worden ist, ergeben sich \(\binom{66}{6}\) Möglichkeiten, aus 12 Personen 6 verschiedene Zweiergruppen zu bilden. Das sind \(90\,858\,768\) Möglichkeiten, wie Gleichung (5) zeigt.

$$\binom{66}{6}=\frac{66!}{\left(66-6\right)!\cdot 6!}=90\,858\,768\tag{5}$$

Das habe ich per Tabellenkalkulation ausgerechnet, wie in Abbildung 1 zu sehen ist.

Abbildung 1: Berechnung von \(\binom{66}{6}\) über eine Tabellenkalkulation

Vielleicht sind in der Formel ein paar Klammerungen überflüssig. Da habe ich mir einfach gedacht: sicher ist sicher. ;-) Die Formel funktioniert aber richtig. das habe ich an Beispielen überprüft, bei denen ich das Ergebnis kenne (zum Beispiel \(\binom{49}{6}\)).

Viele Grüße
jake2042

Anmerkungen

[1]
Vgl. Krengel 2005:8 und Tabelle 1.1 in Krengel 2005:9

Literatur

Krengel, Ulrich, (8)2005: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. (= vieweg studium. Aufbaukurs Mathematik 9) Wiesbaden: Vieweg

Hallo denno345,

ich glaube, ich habe wieder einen Denkfehler gemacht. Ich nehme jetzt mal den Fall mit nur vier Personen. Da gibt es 6 mögliche Zweiergruppen. Aber diese 6 Zweiergruppen lassen sich nicht beliebig kombinieren. Zum Beispiel muss die zweite Zweiergruppe CD sein, wenn die erste AB ist. Es gibt deshalb nicht 15, sondern nur 6 mögliche Kombinationen mit zwei Zweiergruppen. Das entspricht \(\binom{4}{2}\cdot \binom{2}{2}\), wie Gleichung (1) zeigt.

\begin{eqnarray}
\binom{4}{2}\cdot\binom{2}{2} & = & \frac{4!}{\left(4-2\right)!\cdot2!}\cdot\frac{2!}{\left(2-2\right)!\cdot2!} \tag{1}\\
 & = & \frac{24}{4}\cdot\frac{2}{2}\\
 & = & 6\cdot1\\
 & = & 6
\end{eqnarray}

Bei 6 Personen und 3 Zweiergruppen ist es so: die erste Zweiergruppe nimmt von den 6 Personen 2 Personen weg. Auf die zweite und dritte Zweiergruppe können dann noch die restlichen vier Personen aufgeteilt werden. Vier Personen auf zwei Zweiergruppen aufzuteilen hatten wir schon. Das sind 6 Möglichkeiten. In der ersten Gruppe gibt es \(5+4+3+2+1=\frac{5\cdot 6}{2}=15\) mögliche Paarungen. Insgesamt macht das \(15\cdot 6=90\) verschiedene Möglichkeiten, 6 Personen auf 3 Zweiergruppen aufzuteilen. Und nicht 455. Diese 90 Möglichkeiten entsprechen \(\binom{6}{2}\cdot \binom{4}{2}\cdot \binom{2}{2}\), wie Gleichung (2) zeigt.

\begin{eqnarray}
\binom{6}{2}\cdot\binom{4}{2}\cdot\binom{2}{2} & = & \frac{6!}{\left(6-2\right)!\cdot2!}\cdot\frac{4!}{\left(4-2\right)!\cdot2!}\cdot\frac{2!}{\left(2-2\right)!\cdot2!} \tag{2}\\
 & = & \frac{720}{48}\cdot\frac{24}{4}\cdot\frac{2}{2}\\
 & = & 15\cdot6\cdot1\\
 & = & 90
\end{eqnarray}

Das bedeutet, dass Du recht hast. Denn wenn \(x\) die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten für 12 Personen ist, die auf 6 Zweiergruppen aufgeteilt werden, dann ergibt sich Gleichung (3).

\begin{eqnarray}
x & = & \binom{12}{2}\cdot\binom{10}{2}\cdot\binom{8}{2}\cdot\binom{6}{2}\cdot\binom{4}{2}\cdot\binom{2}{2} \tag{3}\\
x & = & \frac{12!}{\left(12-2\right)!\cdot2!}\cdot\frac{10!}{\left(10-2\right)!\cdot2!}\cdot\frac{8!}{\left(8-2\right)!\cdot2!}\cdot\frac{6!}{\left(6-2\right)!\cdot2!}\cdot\frac{4!}{\left(4-2\right)!\cdot2!}\cdot\frac{2!}{\left(2-2\right)!\cdot2!}\\
x & = & \frac{479\,001\,600}{7\,257\,600}\cdot\frac{3\,628\,800}{80\,640}\cdot\frac{40\,320}{1440}\cdot\frac{720}{48}\cdot\frac{24}{4}\cdot\frac{2}{2}\\
x & = & 66\cdot45\cdot28\cdot15\cdot6\cdot1\\
x & = & 7\,484\,400
\end{eqnarray}

Viele Grüße
jake2042

Hallo denno345,

Hier ist noch eine Ergänzung. Wie ich bereits geschrieben habe, ist die Anzahl der Möglichkeiten, n Zweiergruppen aus 2n Personen zusammenzustellen gleich dem Produkt der Binomialkoeffizienten für 1 Zweiergruppe bis zu n Zweiergruppen. Bei 12 Personen, die 6 Zweiergruppen bilden, wird sie also nach Gleichung (1) bestimmt.

$$
\binom{12}{2}\cdot\binom{10}{2}\cdot\binom{8}{2}\cdot\binom{6}{2}\cdot\binom{4}{2}\cdot\binom{2}{2}=7\,484\,400
$$

Bei 4 Personen ergeben sich 6 Möglichkeiten, Zweiergruppen zu bilden. Wenn die Personen mit Buchstaben von \(A\) bis \(D\) bezeichnet werden, sind das die in Tabelle 1 gezeigten Möglichkeiten.

Tabelle 1: Möglichkeiten, aus 4 Personen 2 Zweiergruppen zu bilden, wenn die Reihenfolge wichtig ist
\(
\begin{array}{|c|cc|}
\hline
\textrm{Nr.} & \textrm{1. 2er-Gruppe} & \textrm{2. 2er-Gruppe}\\
\hline
1 & AB & CD\\
2 & AC & BD\\
3 & AD & BC\\
4 & BC & AD\\
5 & BD & AC\\
6 & CD & AB\\
\hline
\end{array}
\)

Das ist aber nur dann richtig, wenn die Reihenfolge der Gruppenbildung eine Rolle spielt. Sonst sind die Gruppenbildungen

• \((AB|CD)\) und \((CD|AB)\)
• \((AC|BD)\) und \((BD|AC)\)
• \((AD|BC)\) und \((BC|AD)\)

jeweils identisch. Es gibt dann nicht 6, sondern nur 3 mögliche Gruppenbildungen. Bei 6 Personen, die 3 Zweiergruppen bilden, gibt es 90 Möglichkeiten, die Zweiergruppen zu bilden, vorausgesetzt, die Reihenfolge spielt eine Rolle. Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, wären aber zum Beispiel die Gruppenbildungen \((AB|CD|EF)\), \((AB|EF|CD)\), \((CD|AB|EF)\), \((EF|AB|CD)\), \((BC|EF|AB)\) und \((EF|BC|AB)\) jeweils identisch. Es gibt dann bei 6 Personen nicht 90, sondern nur \(\frac{90}{6}=15\) mögliche Gruppenbildungen.

Verallgemeinert heißt dass: Die Anzahl der Gruppenbildungen, die möglich sind, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt, muss durch die bei einer gegebenen Anzahl Gruppen möglichen Anzahl von Permutationen geteilt werden, um zu der Anzahl der Gruppenbildungen zu kommen, die möglich sind, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Wenn die Anzahl der Gruppen gleich \(n\) ist, dann ist die Anzahl der Permutationen gleich \(n!\).

Das führt nun zu der Tabelle 2, die die Berechnng der Anzahl der möglichen Gruppenbildungen mit und ohne Reihenfolge aufführt.

Tabelle 2: Berechnung der möglichen Gruppenbildungen

Das heißt, genau wie Du gesagt hast, gibt es nur 10395 Möglichkeiten, 6 Zweiergruppen aus 12 Personen zu bilden, wenn die Reihenfolge der Gruppenbildung keine Rolle spielt.

Viele Grüße
jake2042