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Uneigentliche Integrale hast du nur, wenn mind. eine Integralgrenze als Funktionswert nicht existiert.
Z.B. \(\displaystyle\int\limits_0^5 \dfrac{1}{x}\, dx\), da die Funktion \(\dfrac{1}{x}\) an der Stelle \(x=0\) nicht definiert ist.
Bei der linken Funktion \(-4x^{-3}\) existiert der FW an der Stelle \(x=-1 \Rightarrow f(-1)=4\), jedoch ist die untere Grenze nicht definiert (minus Unendlich).
Hier ist nun das best. Integral \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{-1} f(x)\, dx\) gefordert. Das ist gleichbedeutend mit \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{-1} f(x)\, dx = \lim\limits_{a \to -\infty}\displaystyle\int\limits_{a}^{-1} f(x)\, dx\).
Du bildest zuerst die Stammfunktion: \(F(x)=\dfrac{2}{x^2}+C\)
Nun entspricht nach der Änderung oben \(\lim\limits_{a \to -\infty}\displaystyle\int\limits_{a}^{-1} f(x)\, dx = \lim\limits_{a \to -\infty} \left [ F(-1) - F(a)\right] = \lim\limits_{a \to -\infty} \left [ \dfrac{2}{(-1)^2} - \dfrac{2}{a^2}\right] = \lim\limits_{a \to -\infty}\left [ 2 - \dfrac{2}{a^2}\right] \)
Da der Grenzwert \(\lim\limits_{a \to -\infty} \dfrac{2}{a^2} = 0\) ist, lautet \(F(a) = 0\).
Somit ist \(\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{-1} f(x)\, dx = F(-1)- F(0) = 2 - 0 = 2\).
Man könnte sich merken, dass Integrale mit dem Integranden \(\dfrac{1}{x^\alpha}\) mit mind. einer kritischen Integrationsgrenze (unendlich) nur für \(\alpha > 1\) konvergieren.
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Ich wollte damit nur zeigen, dass diese Grenze existiert. Man kann das allerdings auch direkt in der Grafik sehen.
\(\lim\limits_{a\to -\infty} \dfrac{2}{a^2} = \dfrac{2}{\lim\limits_{a\to -\infty}a^2} = \dfrac{2}{-\infty^2}=0\)
Das sind Basics, die man zum Thema Grenzwerte wissen sollte. Am besten zu dem Thema noch mal informieren.
Alternativ kann man das auch überprüfen, in dem man 'große' negative Werte für a einsetzt:
\(\dfrac{2}{(-9999)^2} \approx 2\cdot 10^{-8} \approx 0\) ─ maccheroni_konstante 21.08.2019 um 16:52
Ansonsten gibt es hier noch mal eine Auflistung von Regeln: https://www.mathebibel.de/grenzwerte-rechenregeln ─ maccheroni_konstante 21.08.2019 um 17:38
Nämlich bei „Bei der linken Funktion (...)“ Muss man dann einfach die eine Grenze die man hat in die Funktionsgleichung einsetzen? Und was macht man dann mit der Zahl, in dem Fall die 4, was macht man dann mit der 4.
Was ich auch nicht verstehe ist unten:
Warum ist der Grenzwert für 2/a^{2} = 0? Woher soll man das wissen, bzw. wie berechnet man das?
─ fasn 21.08.2019 um 15:59