Orthogonale Projektion


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Hallo Zusammen :) Ich bearbeite gerade diese Aufgabe. Teil A und B habe ich schon erledigt. Ich hoffe, dass mein Ergebnis stimmt. Allerdings komme ich bei der C nicht weiter? Ich weiß überhaupt nicht wie ich weiter machen soll?

 

gefragt vor 3 Monate, 2 Wochen
s
sheepy,
Punkte: 20
 
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1 Antwort
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Hallo,

du hast bei der a) einen Fehler gemacht. Wenn man die beiden Gleichungen addiert erhält man

\( 2x_2 + 2x_4 = 0 \\ \Rightarrow x_2 = -x_4 \)

Also hast du die beiden Basen vertauscht. Im folgenden benutze ich aber deine Beschriftung der Basisvektoren.

Nun zur c). Wir wollen die Abbildungsmatrix bestimmen. Nehmen wir die Standardbasis \( \{e_1,e_2,e_3,e_4 \} \). 

Wir können diese Basisvektoren durch unsere Basisvektoren \( \{ b_1, b_2 ,b_3,b_4 \} \) darstellen.

\( e_1 =  \sum_{i=0}^4 \lambda_i b_i \)

Da die Projektion eine lineare Abbildung ist erhalten wir wenn wir einen Basisvektor in unsere Abbildung \( P_E \) einsetzen

\( P_E(e_1) = P_E \left( \sum_{i=0}^4 \lambda_i b_i \right) = \sum_{i=0}^4 \lambda_i P_E(b_i) \)

Die Basisvektoren von \( U \) bilden auf sich selbst ab und die aus dem orthogonalen Raum bilden auf die Null ab, also 

\( P_E(e_1) = \sum_{i=0}^4 \lambda_i P_E(b_i) = \lambda_3 b_3 + \lambda_4 b_4 \)

Das Ergebnis ist nun die erste Spalte deiner Abbildungsmatrix. Du fährst dann mit \( e_2 , e_3 \) und \( e_4 \) genauso fort und erhälst deine Matrix \( M \).

Wenn du die Matrix dann berechnet hast, musst du sie diagonalisieren. Ist dir klar wir das funktioniert?

Ich gucke gerne nochmal über deine Lösung drüber.

Grüße Christian

 

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.33K
 

Also ich hab das jetzt gemacht, was du gesagt hast.
Ich hab nun die Matrix M mit den Spalten (1/2,0,-1/2,0),(0,1/2,0,-1/2),(-1/2,0,1/2,0),(0,-1/2,0,1/2).
Ich hoffe das passt jetzt? (Tut mir leid für die komische Schreibweise, aber ich kann des nicht anders)

Ich weiß wie diagonalisieren geht, allerdings frage ich mich ob des nicht bei der Aufgabe noch einfacher geht ohne M zu berechnen ?

Danke für deine Hilfe
  -   sheepy, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Hallo,

die Matrix ist richtig. Aber ja tatsächlich kann man das auch ohne diagonaliserien machen. Hatte ich zuerst gar nicht dran gedacht obwohl ich es oben schon benutzt hatte.
Um \( P_E(e_k) \) zu bestimmen, haben wir bereits ausgenutzt das die Basisvektoren des UVR \( U \) wieder auf sich selbst abgebildet werden und die Basisvektoren von \( U^{\perp} \) auf die Null.
Was hat das mit Eigenwerten und Eigenvektoren zu tun?

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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