Hallo,

du hast bei der a) einen Fehler gemacht. Wenn man die beiden Gleichungen addiert erhält man

\( 2x_2 + 2x_4 = 0 \\ \Rightarrow x_2 = -x_4 \)

Also hast du die beiden Basen vertauscht. Im folgenden benutze ich aber deine Beschriftung der Basisvektoren.

Nun zur c). Wir wollen die Abbildungsmatrix bestimmen. Nehmen wir die Standardbasis \( \{e_1,e_2,e_3,e_4 \} \). 

Wir können diese Basisvektoren durch unsere Basisvektoren \( \{ b_1, b_2 ,b_3,b_4 \} \) darstellen.

\( e_1 =  \sum_{i=0}^4 \lambda_i b_i \)

Da die Projektion eine lineare Abbildung ist erhalten wir wenn wir einen Basisvektor in unsere Abbildung \( P_E \) einsetzen

\( P_E(e_1) = P_E \left( \sum_{i=0}^4 \lambda_i b_i \right) = \sum_{i=0}^4 \lambda_i P_E(b_i) \)

Die Basisvektoren von \( U \) bilden auf sich selbst ab und die aus dem orthogonalen Raum bilden auf die Null ab, also 

\( P_E(e_1) = \sum_{i=0}^4 \lambda_i P_E(b_i) = \lambda_3 b_3 + \lambda_4 b_4 \)

Das Ergebnis ist nun die erste Spalte deiner Abbildungsmatrix. Du fährst dann mit \( e_2 , e_3 \) und \( e_4 \) genauso fort und erhälst deine Matrix \( M \).

Wenn du die Matrix dann berechnet hast, musst du sie diagonalisieren. Ist dir klar wir das funktioniert?

Ich gucke gerne nochmal über deine Lösung drüber.

Grüße Christian