Binomische Formlen


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Ich verstehe nicht wenn ich jetzt zum Beispiel(8x+5y)2 habe ob sich die 8 oder die 5 mit sich selbst multipliziert oder mit der hoch 2.Würde mich über eine schnelle Antwort sehr freuen 

 

gefragt vor 3 Monate, 2 Wochen
t
timicin1909,
Punkte: 15
 

In Zukunft gleich Wolframalpha benutzen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%288x%2B5y%29%5E2

Siehe "Expanded Form".
  -   einmalmathe, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Und aussagekräftige Tags verwenden ("Übung (8x+5y) hoch 2" ist keiner!).   -   letsrockinformatik, verified kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche
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2 Antworten
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\((a+b)^2\) ist das gleiche wie \((a+b)\cdot (a+b)\).

Das ausmultipliziert ergibt \((a+b)\cdot (a+b) = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = a^2+2ab+b^2\).

Bei \((8x+5y)^2\) wäre \(a=8x\) und \(b=5y\), sprich du rechnest \((8x)\cdot (8x) + (8x)\cdot (5y) \cdot \,... \,\cdot (5y)\cdot (5y)=(8x)^2 + 2(8x)(5y)+(5y)^2\).

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14.61K
 
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Hallo timicin1909,

wenn Du etwas quadrierst, dann bedeutet das, dass Du dieses etwas mit sich sebst multiplizierst. Zum Beispiel ist

$$5^{2}=5\cdot 5=25 \tag{1}$$

Etwas allgemeiner ausgedrückt gilt Gleichung (2).

$$x^{2}=x\cdot x \tag{2}$$

Nun kannst Du nicht nur einzelne Zahlen quadrieren, sondern auch ganze Ausdrücke (Terme). Wenn Du für \(x\) in Gleichung (2) zum Beispiel \(4+3\) einsetzt, dann bekommst Du Gleichung (3).

$$(4+3)^{2}=(4+3)\cdot (4+3) \tag{3}$$

Wenn Du das verallgemeinerst und für \(x\) in Gleichung (2) \(a+b\) einsetzt, dann bekommst Du Gleichung (4).

$$(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)\tag{4}$$

Die Multiplikation der beiden Terme kannst Du vollziehen, indem Du jedes Element des einen Terms mit jedem Element des anderen Terms multiplizierst. Im vorliegenden Fall hast Du keine negativen Faktoren, da es sich bei beiden Termen um Additionen handelt. Deshalb kannst Du nach Gleichung (5) vorgehen:

$$(a+b)\cdot (a+b)=(a\cdot a)+ (a\cdot b) + (b\cdot a) + (b\cdot b) \tag{5}$$

Das nennt sich ausmultiplizieren. Vergleiche dazu Abbildung 1. Damit bekommst Du Gleichung (6).

 

Abbildung 1: Ausmultiplizieren

 

$$(a+b)\cdot (a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}\tag{6}$$

Da \(ab=ba\) ist und das zweimal vorkommt, bekommst Du Gleichung (7).

$$(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a^{2}+2ab+b^{2} \tag{7}$$

Das ist die erste binomische Formel. Auf die gleiche Weise bestimmst Du \((a-b)\cdot (a-b)\) und \((a+b)\cdot (a-b)\). Dabei musst Du nur darauf achten dass Minus mal Minus Plus und Minus mal Plus (oder Plus mal Minus) Minus ergibt. Du bekommst dann die Gleichungen (8) und (9).

\begin{array}{lcccl}
(8)\qquad{}(a-b)^{2} & = & (a-b)\cdot(a-b) & = & a^{2}-2ab+b^{2} \\
(9)\qquad{}&  & (a+b)\cdot(a-b) & = & a^{2}-b^{2}
\end{array}

Dummerweise hast Du jetzt 8 Terme. Als ich in der Schule die binomischen Formeln lernen sollte, habe ich einen Trick angewandt und einfach einen neunten (eigentlich überflüssigen) Term dazukonstruiert, damit ich eine symmetrische \(3\times 3\)-Matrix bekam, die ich mir merken konnte. Ob das für Dich die richtige Methode ist, weiß ich nicht. Jeder tickt anders. Mir hat das aber geholfen. Meine neun Terme sahen so aus, wie die Gleichungen (10) bis (12). Der Term ganz unten rechts in der Ecke ist der, den ich dazukonstruiert habe. Du siehst schon, was ich da gemacht habe. ;-)

\begin{array}{lcccl}
(10)\qquad{}(a+b)^{2} & = & (a+b)\cdot(a+b) & = & a^{2}+2ab+b^{2} \\
(11)\qquad{}(a-b)^{2} & = & (a-b)\cdot(a-b) & = & a^{2}-2ab+b^{2} \\
(12)\qquad{}a^{2}-b^{2} & = & (a+b)\cdot(a-b) & = & a^{2}+ab-ab-b^{2}
\end{array}

Soweit an dieser Stelle.

Viele Grüße
jake2042

geantwortet vor 3 Monate, 2 Wochen
jake2042, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.2K
 

(4+3)^2
das kann man auch so machen oder
4 hoch 2 plus 2 mal 4 mal 3 plus 3 hoch 2 ist also 16+21+9=49
  -   beikircherflorian, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Du meinst:

$$(4+3)^{2}=4^{2}+2\cdot 4\cdot 3+ 3^{2}=16+21+9=49 \tag{1}$$

Das ist einfach die erste binomische Formel. Darauf komme ich später im Text (etwas allgemeiner gefasst) noch. Wenn Du ihn zuende gelesen hast, siehst Du das.

An der Stelle, an der das Beispiel mit \((4+3)^{2}\) steht, wollte ich erst einmal zeigen, dass auch Terme quadriert werden können und dass das im Prinzip heißt, den Term mit sich selbst zu multiplizieren.

Die binomischen Formeln werden im Text dann aus einfachem ausmultiplizieren von Termen abgeleitet. So sind sie auch zu verstehen. Natürlich kannst Du den Schritt, die auszumultiplizierenden Terme vollständig hinzuschreiben, auch verzichten, wenn Du die binomischen Formeln einmal im Kopf hast. Aber zu wissen, wo das herkommt, ist nicht ganz unwichtig. Im Zweifelsfall (wenn Du Dir in einem konkreten Fall unsicher bist) solltest Du auch einfach ausmultiplizieren können. Das ist dann eine wirklich sichere Methode. Da kannst Du nichts falsch machen (ein bisschen Übung und, wie immer, Genauigkeit, gehört natürlich auch dann dazu).

Viele Grüße
jake2042
  -   jake2042, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Also (2x+3)^2 ist das gleiche wie (2x+3)*(2x+3)   -   beikircherflorian, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Bingo! :-)   -   jake2042, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Ich sehe gerade etwas. \(2\cdot 4\cdot 3\) ist natürlich 24 und nicht 21. Das ist wohl einfach ein Flüchtigkeitsfehler. Das Ergebnis (49) stimmt nämlich (16+24+9).

Viele Grüße
jake2042
  -   jake2042, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

ja das stimmt
gute nacht
  -   beikircherflorian, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Gute Nacht! :-)   -   jake2042, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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