Minimalpolynpom ohne char. Polynom herausfinden


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Guten Tag

Ich bin mich gerade auf die Lin.Alg 2 Prüfung am vorbereiten und bin da über das Minimalpolynom Problem gestossen was ich schon während dem Semester nicht ganz verstanden habe.

 

Nun mein Problem sieht so aus dass ich herausfinden will wie ich das Minimalpolynom herausfinden kann ohne das char. Polynom zu wissen.

Wir haben so einen Algorithmus behandelt der einen Vektor nimmt und ihn so lange auf die Abbildungsmatrix anwendet bis es linear abghängig wird.

Jedoch verstehe ich nicht mehr ganz von wo dieser Vektor gekommen ist und was dieser Vektor mit dem Minimalpolynom zu tun hat.

 

https://www.matheboard.de/archive/587145/thread.html

(Ist ungefähr der Algorithmus wie in diesem Forum)

 

Stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch und wäre dankbar für jeden Ansatz.

 

Vielen Dank und Liebe Grüsse

Christian

 

gefragt vor 3 Monate, 3 Wochen
c
chrugi,
Student, Punkte: 43
 
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1 Antwort
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Hallo,

der Spaltungssatz besagt in erster Linie das wenn man das Minimalpolynom \( f \) unserer Linearen Abbildung \( A\) durch paarweise teilerfremde \( g_i \) faktorisiert, man den Vektorraum \( V \) als direkte Summe der A-invarianten UVR \( Ker(g_i(A))  \) zerfallen lassen kann, also

\( V= Ker(g_1(A)) \oplus Ker(g_2(A)) \oplus \ldots \oplus Ker(g_n(A)) \)

Ich muss zugeben den Algorithmus habe ich noch nicht gesehen und der Link erklärt auch nicht viel über den Algorithmus. Aber ich habe länger drüber nach gedacht und bin zu folgendem Schluss gekommen.

Ich denke man setzt, solange es nötig ist, nacheinander Basisvektoren ein. Dadurch gewährleistet man das wir am Ende den ganzen Raum betrachtet haben. Außerdem vereinfacht sich mit \( e_1 \) die Berechnung der ersten Vektoren enorm. 

Jetzt weiß ich nicht inwiefern ihr euch schon mit Haupträumen auseinander gesetzt habt. Man nennt \( Ker((A-\lambda_i Id)^{l_i}) \) den verallgemeinerten Eigenraum zu \( \lambda_i \), wenn \( (A- \lambda_i Id)^{l_i} \) ein Faktor des Minimalpolynoms ist. Nun kommen wir zu der Verbindung zum Spaltungssatz. Wir können nun \( g_i = (A - \lambda_i Id)^{l_i} \) setzen und haben die Aufspaltung unseres Vektorraums gefunden. 

Wir setzen \( e_1 \) solange in unsere Abbildung ein, bis wir eine Lösung erhalten die Linear abhängig zu unseren vorherigen Lösungen ist. 
Ich habe mal etwas herumgerechnet und ich denke das ganze wird aufgrund folgender Überlegung gemacht.

Wir suchen den A-Invarianten UVR indem \( e_1 \) liegt, also für den gilt

\( e_1 \in ker((A- \lambda_k Id)^{l_k}) \)

Das bedeutet aber dann, dass

\( (A- \lambda_k Id)^{l_k} \cdot e_1 = 0 \)

Wir können das ganze auflösen in ein Polynom vom Grad \( l_k \). In diesem Polynom haben wir in jedem Summanden einen Faktor der Form \( A^j(e_1) \), mit \( j \leq l_k \)
Da wir jetzt in unseren vorigen Überlegung gezeigt haben, das die drei Vektoren \( e_1 , A(e_1) , A^2(e_1) \) linear abhängig sind, können wir \( l_1 = 2 \) setzen und das Polynom bestimmen. Es ergibt sich

\( \lambda^2 e_1 - 2 \lambda A(e_1) + A^2(e_1) = A^2(e_1) + a A(e_1) + b e_1 = 0 \\ \Rightarrow a = -2 ,\ b= 5 \)

Somit kommen wir auf das erste gesuchte Polynom

\( g_1(x)= x^2 -2x + 5 \)

Nun gilt \( V = ker(g_1(A)) \oplus im(g_2(A)) \) und der Spaltungssatz sagt uns außerdem das \( im(g_1(A)) = ker(g_2(A)) \oplus \ldots \oplus ker(g_n(A)) \).

Wir nehmen also wieder einen Basisvektor (dieses mal unseres übrig gebliebenen Raums) um wieder den nächsten A-Invarianten UVR zu finden. Dieser ist

\( e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \)

Da wir aber sofort \( A(e_2) = 1 \cdot e_2 \) erhalten, ist \( e_2 \) sofort Eigenvektor zum Eigenwert \( 1 \). Damit erhalten wir sofort ein weiteres Polynom, nämlich \( g_2(x) = x-1 \).

Damit hat unser Polynom \( f(x) = g_1(x) \cdot g_2(x) = (x-1)(x^2-2x+5) \) bereits einen Grad von 3 und muss somit bereits das Minimalpolynom sein. 

Ich hoffe ich habe keinen Denkfehler gemacht.

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.69K
 

Hallo Christian
Vielen vielen Dank jetzt habe ich es endlich verstanden!!!
Danke dass du dir die Zeit genommen hast und für diesen guten ausführlichen Text.

Liebe Grüsse
Christian
  -   chrugi, kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen

Sehr gerne :)
Das freut mich zu hören.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Monate, 2 Wochen
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