Hallo!

a) Die gemeinsame Periode ist \(\displaystyle  2\pi\), denn es gilt, dass \(\displaystyle  \sin(x+2\pi) = \sin(x'+2\pi)\).

b) \(\displaystyle  \sin(-3x)-\sin(-x) = -\sin(3x)+\sin(x) = -\big(\sin(3x)-\sin(x)\big) \quad\Longleftrightarrow\quad f(-x) = -f(x)\)

c) Die Darstellung ist falsch, denn es gilt, dass

\(\displaystyle  \sin(x)+\sin(y) = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\). Mit \(\displaystyle  x \mapsto 3x\) und \(\displaystyle  y \mapsto y\) erhält man, dass

\(\displaystyle  f(x) = \sin(3x) - \sin(x) = \sin(3x) + \sin(-x) = 2\sin\left(x\right)\cos(2x)\).

d) Satz vom Nullprodukt liefert:

\(\displaystyle  x = n\pi \quad \lor \quad x = \frac{(2n+1)\pi}{4} \qquad n \in \mathbb{Z}\).

e) Dies solltest Du nun lösen können.

Gruß.