Algebra


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Beispiel für einen kommitativen aber nicht abelschen Ring?

 

gefragt vor 3 Monate, 1 Woche
m
mathe92x,
Student, Punkte: 20
 
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1 Antwort
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Hallo,

vielleicht solltest du dir nochmal klar machen was genau abelsch bedeutet (zumal dieser Begriff mir nur in Verbindung mit Gruppen geläufig ist). Dann kannst du dir die Frage leicht selbst beantworten.

Grüße Christian

geantwortet vor 3 Monate, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.22K
 

Also gibt es so einen Ring nicht. Denn gilt die Kommutativität, so ist er abelsch. Stimmt das so?   -   mathe92x, kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

Ja genau. Der Begriff kommt wie gesagt eigentlich aus der Gruppentheorie.
Eine Gruppe für die das Kommutativgesetz gilt nennt man abelsch.
Ein Ring besteht aus der abelschen Gruppe (G,+) und der Halbgruppe (G,*)
Man sagt ein Ring ist kommutativ, wenn (G,*) abelsch (also kommutativ) ist.
Wenn ihr für Ringe auch den Begriff abelsch nutzt, bedeutet das auch nur das die Gruppe (G,*) abelsch ist.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

Eine Frage noch zu Gruppen:

Wie zeige ich dass eine Gruppe zyklisch ist? Habe sehr viel im Internet gesucht kedoch konnte ich mit den Definitionen nichts anfangen.
Wie zeige ich ob diese zyklisch sind oder nicht? z.b Z/2Z x Z/3Z? Oder Z/21Z x Z/9Z?
  -   mathe92x, kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche

Hallo,

zyklisch bedeutet wie das Wort schon sagt, das wir einen Zyklus haben. Ein Zyklus bedeutet hier das es ein Element gibt (man spricht von einem Erzeuger) das durch mehrmaliges Verknüpfen mit sich selbst jedes Element der Gruppe ergibt und irgendwann wieder sich selbst.

Du hast als Beispiel Restklassen. Hier ist es am schönsten zu verstehen was das bedeutet. Nehmen wir zum Verständnis nicht direkt das kartesische Produkt zweier Restklassen sondern gucken uns erstmal nur eine an.
Hier ist die Verknüpfung die Addition und unser Erzeuger ist immer die \( 1 \). Warum ist das so?
Nehmen wir \( \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} := \{ 0,1,2,3,4 \} \)
Nun gilt
\( 1 = 1 \\ 1+1 = 2 \\ 2+1 = 1+1+1 = 3 \\ 3+1 = 1+1+1+1 = 4 \\ 4+1 = 1+1+1+1+1 = 0 \\ 0+1 = 1 \\ \vdots \)
Wir haben also einen Zyklus.

Nun zu \( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} := \{ (0,0) , (0,1) , (0,2) , (1,0) , (1,1) , (1,2) \} \)
Hier ist \( (1,1) \) ein Erzeuger.
Um das zu zeigen, könntest du zeigen das jedes Element mittels \( (1,1) \) durch addieren mit sich selbst erzeugt werden kann.

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 3 Monate, 1 Woche
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