Hallo,

der Satz zur Klassifikation von zyklischen Gruppen besagt, das jede zyklische Gruppe \( G \) entweder zu \( \mathbb{Z} \) oder zu \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) mit \( n \in \mathbb{N} \) isomorph ist. 

Der Beweis unterteilt nun zyklische Gruppen in zwei Fälle.

1. \( \vert G \vert = \infty \)
2. \( \vert G \vert = n \) mit \( n \in \mathbb{N} \)

Nun stellen wir zwei Isomorphismen auf 

1. \( \mathbb{Z} \to G , k \mapsto a^k \) ist ein Isomoprhismus 
2. \( G \to \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} , a^k \mapsto \overline{k} \) ist auch ein Isomorphismus.

Damit haben wir gezeigt, das unendliche zyklische Gruppen isomorph zu den ganzen Zahlen und endliche zyklische Gruppen isomorph zu \( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \) sind.

Grüße Christian