zu 3)

Die Gegenwahrscheinlichkeit zu 0.8 ist 0.2 und es gilt 0.8=8/10.

Die im vorgegebenen Pfad fehlende Wahrscheinlichkeit ist `(56/90)/(8/10)=7/9`

Die Gegenwahrscheinlichkeit dazu ist also - deine Aufgabe?

Die Gesamtwahrscheinlickeit hierzu ist 8/10*deine Aufgabe=Ergebnis.

Mache dir jetzt den Kontext klar - im Behältnis sind 8 Kugel der Sorte 1 und zwei Kugel der Sorte 2.

Und so sollte dir auch die zweite Hälfte leicht gelingen.

zu 4)

Hierbei musst du jedem Buchstaben eine Wahrscheinlichkeit zuordnen:

ANANAS hat 6 Buchstaben.

A wird mit 50% Wahrscheinlichkeit am Anfang gezogen

N am Anfang mit 33.33% und S mit 16.67%. Du musst aber nicht den vollen Baum malen, sondern nur schauen was du brauchst. Das ist wie Kugelziehen OHNE zurücklegen. 

Versuche dich mal daran, wenn noch Fragen sind, gerne melden...

Hallo EmirhanSüer,

in folgenden versuche ich, Dir einige grundsätzliche Erklärungen zu den Aufgaben zu geben. Wenn Du konkrete Fragen dazu hast, melde Dich bitte noch einmal.

Urnenmodell

In einer Urne befindet sich eine bestimmte Anzahl Kugeln in verschiedenen Farben, zum Beispiel 3 blaue, 4 rote und 1 grüne Kugel.

Urnenmodell mit zurücklegen

Aus der Urne wird eine Kugel gezogen, die Farbe aufgeschrieben und dann die Kugel wieder in die Urne zurückgelegt, bevor eine neue Kugel gezogen wird. Dabei hast Du jedes Mal, wenn Du eine Kugel ziehst, dieselben Wahrscheinlichkeiten wie davor.

Beispiele:

• würfeln
• Roulette
• Glücksrad auf dem Jahrmarkt.

Urnenmodell ohne zurücklegen

Aus der Urne wird eine Kugel gezogen, die Farbe aufgeschrieben und dann die Kugel beiseite gelegt. Wenn dann eine neue Kugel gezogen wird, befindet sich bereits eine Kugel mit einer bestimmten Farbe weniger in der Urne als zuvor. Dadurch ändern sich jedes mal die Wahrscheinlichkeiten, wenn Du neu ziehst.

Beispiel:

Aus einem Kartenspiel eine Karte ziehen, beiseitelegen und dann eine neue Karte ziehen. Wenn das Kartenspiel 32 Karten hat, ist die Wahrscheinlichkeit, einen Kreuz Buben zu ziehen, beim ersten Mal \(\frac{1}{32}\), beim zweiten Mal  \(\frac{1}{31}\) usw.

Pfadregeln

Entlang eines Pfades wird multipliziert. Ich würde Dir empfehlen, zumindest zunächst, die Brüche nicht zu kürzen. Dann weißt Du immer, was Du gemacht hast und kannst Deine Ergebnisse jederzeit kontrollieren.

Die Einzelergebnisse für jeden Pfad werden addiert. Alle Einzelergebnisse zusammen müssen 1 ergeben. Wenn Du zum Beispiel aus einer Urne mit 6 blauen und 4 roten Kugeln nacheinander 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehst und Du dann die Wahrscheinlichkeit dafür wissen willst, dass mindestens eine rote Kugel dabei ist, dann addierst Du alle Einzelwahrscheinlichkeiten, in denen eine, zwei oder drei rote Kugeln gezogen werden.

Siehe dazu:

1. und 2. Pfadregel, Gegenwahrscheinlichkeit, Stochastik, Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramm (Daniel Jung)

Urnenmodelle und Pfadregeln in der Stochastik, Wahrscheinlichkeit | Mathe by Daniel Jung

Gegenwahrscheinlichkeit

In dem gerade aufgeführten Beispiel hättest Du auch die Gegenwahrscheinlichkeit davon, mindestens eine rote Kugel zu ziehen, nehmen und von 1 abzeihen können. Die Gegenwahrscheinlichkeit davon, mindestens eine rote Kugel zu ziehen, ist die Wahrscheinlchkeit dafür, keine rote Kugel zu ziehen. Diese wahrscheinlichkeit kann direkt aus dem Baum abgelesen werden.

Es gilt:

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses + Gegenwahrscheinlichkeit dieses Ereinnisses = 1

Die Gegenwahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass das Ereignis nicht eintritt.

ANANAS

Überlege Dir zuerst, wie der Wahrscheinlchkeitsbaum aussehen muss. Das Wort ANANAS hat 6 Buchstaben, davon 3 mal A, 2 mal N und 1 mal S. Es wird viermal je eine Karte ohne zurücklegen gezogen.

Das bedeutet: der Wahrscheinlchkeitsbaum hat vier Stufen. Auf der ersten Stufe gibt es die Verzweigungen für A, N und S. Auf der zweiten Stufe gibt es für jede Verzweigung in der ersten Stufe noch einmal jeweils Verzweigungen für A, N und S, insgesamt also 9. Auf der dritten Stufe hast Du dann 27 und auf der vierten Stufe 81 Verzweigungen. Fazit: ich würde die Anmerkung von vt5, dass Du nicht den ganzen Baum zeichnen musst, sondern nur die Pfade, die Du brachst, ernst nehmen.

Das Wort ANNA zu ziehen ist gleichbedeutend damit, zuerst ein A, dann ein N, dann noch ein N und zum Schluss wieder ein A zu ziehen. Das ist also ein bestimmter Pfad im Baum. Wenn Du diesen Pfad richtig gezeichnet hast, dann kannst Du die Einzelwahrscheinlichkeit dafür bestimmen (siehe Pfadregeln). Genauso gehst Du für NASA vor.

Die Wahrscheinlichkeit für NASS kannst Du sofort hinschreiben. NASS hat zwei S. Zwei S können aber gar nicht gezogen werden, weil ANANAS nur ein S hat und ohne zurücklegen gezogen wird. Deshalb ist hier die Wahrscheinlichkeit 0.

Zu Baumdiagrammen, Kreuztabellen und bedingter Wahrscheinlichkeit insgesamt

https://fragen.letsrockmathe.de/question/9053/statistik/

https://fragen.letsrockmathe.de/question/7462/bedingte-wahrscheinlichkeit/

https://fragen.letsrockmathe.de/question/9167/kreuztabellen-und-bedingte-wahrscheinlichkeit/

Viele Grüße
jake2042

Hallo EmirhanSüer,

noch einmal speziell zu Aufgabe 3. Ich spiele das jetzt mal anhand eines selbst konstruierten Beispiels durch, um zu zeigen, wie Du diese Art von Aufgabe lösen kannst. Mein Beispiel stammt im Prinzip aus meinem Community-Artikel »Wahrscheinlichkeiten, Bäume und Kreuztabellen«. Abbildung 1 zeigt das Beispiel.

Abbildung 1: Eine Aufgabe wie in Aufgabe 3

Du musst ein bisschen schauen, wo Du ansetzen kannst. In diesem Beispiel ist es sinnvoll, bei den \(\frac{6}{15}\) anzufangen, die Du rechts oben siehst. Du weist, dass beide Äste, die von »Urne« abgehen, zusammen 1 ergeben müssen. Deshalb muss der Ast, der von »Urne« zu B(1) führt, die Wahrscheinlichkeit \(\frac{9}{15}\) aufweisen. Jetzt bist Du so weit, wie in Abbildung 2.

Abbildung 2: Der erste Schritt.

Nach der Produktregel muss jetzt \(\frac{72}{210}\) aus der Multiplikation von \(\frac{9}{15}\) mit der Wahrscheinlichkeit an dem Ast zwischen B(1) und B(2) entstanden sein. Hier muss also \(\frac{8}{14}\) hin (Abbildung 3).

Abbildung 3: Der zweite Schritt

Jetzt kannst Du etwas wesentliches erkennen: von der ersten zur zweiten Stufe des Wahrscheinlichkeitsbaums verringert sich der Nenner des Bruchs um 1! Das bedeutet, dass Du es mit Wahrscheinlichkeiten ohne zurücklegen zu tun hast. Ursprünglich waren in der Urne offenbar 15 Kugeln, 6 rote und 9 blaue. Wenn Du Dir überlegst, was jeweils nach dem ersten Zug übrigbleibt, dann kannst Du die Wahrscheinlichkeiten der restlichen Äste in der zweiten Stufe ohne Schwierigkeiten bestimmen. Du bist dann so weit, wie es Abbildung 4 zeigt.

Abbildung 4: Der dritte Schritt

Um schließlich die Einzelwahrscheinlichkeiten für jeden Pfad zu bestimmen, brauchst Du nur noch die Produktregel anzuwenden. Das Ergebnis siehst Du in Abbildung 5.

Abbildung 5: Fertig!

Jetzt bist Du fertig! :-)

Auf so eine Weise kannst Du jede Aufgabe dieser Art lösen.

Viele Grüße
jake2042