Hallo,

du wirst niemals einen Eigenvektor finden, sondern es sind immer unendlich viele Eigenvektoren, denn jedes Vielfache eines Eigenvektors ist selbst Eigenvektor zum selben Eigenwert.

Deshalb erhälst du beim Bestimmen der Eigenvektoren auch immer ein Gleichungssystem, das nicht eindeutig lösbar ist (erhälst du als Lösung des LGS einen exakten Vektor hast du meist einen Fehler gemacht).

Deine beiden Gleichungen sind linear abhängig. Teilen wir die erste Gleichung durch \( -2 \) so erhalten wir die zweite Gleichung. 

Du hast schon richtig geschrieben das \( v_x = 2v_y \) gilt. Daraus können wir nun unsere Eigenvektoren bestimmen. Setzen wir \( v_y = t \), dann resultiert sofort \( v_x = 2v_y = 2t \). Damit erhalten wir die Lösung

\( \begin{pmatrix} 2t \\ t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)

Nun erhalten wir für jeden Wert von \( t \) einen Eigenvektor. Meistens setzt man \( t=1 \) oder man normiert den Vektor aber was genau du nun für \( t \) nimmst ist in diesem Kontext nicht wirklich wichtig.

Grüße Christian