Hallo,
du musst zuerst zeigen, das \( \frac 1 {a+b \cdot \sqrt{2}} \in \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \) ist.
Dafür kannst du dich einem Trick bedienen den man vielleicht von den komplexen Zahlen kennt. Wir erweitern den Bruch mit \( a- b \cdot \sqrt{2} \)
\( \Rightarrow \frac {a- b \cdot \sqrt{2}} {(a+b \cdot \sqrt{2}) \cdot (a-b \cdot \sqrt{2})} \\ = \frac {a- b \cdot \sqrt{2}} {a^2 - 2b^2} \\ = \frac {a} {a^2 - 2b^2} + \frac {-b} {a^2 - 2b^2} \cdot \sqrt{2} \)
Nun gilt es zu zeigen, das \( \frac {a} {a^2 - 2b^2} \in \mathbb{Q} \) und \( \frac {-b} {a^2 - 2b^2} \in \mathbb{Q} \) liegt.
Überlege dir nun wie die rationalen Zahlen definiert sind und setze die Definition ein. Bedenke dabei, das bei der Division rationaler Zahlen immer wieder eine rationale Zahl heraus kommt.
Wenn du das gezeigt hast, müsstest du noch zeigen das dies wirklich für alle \( a,b \in \mathbb{Q} \) gilt. Dabei gehst du so vor wie vt5 es bereits beschrieben hat.
Um den Fall \( a=b=0 \) musst du dir dabei keine Gedanken machen, da du das Paar \( ( \mathbb{Q}[\sqrt{2}]-\{0\}, \cdot ) \) auf die Gruppeneigenschaften hin untersuchst. Die Null ist also ausgeschlossen.
Grüße Christian
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Somit erhalten wir das neutrale Element durch \( a=1 \) und \( b=0 \) wie vt5 richtig sagt.
Grüße Christian ─ christian_strack 11.09.2019 um 00:29
Wir haben 1 = a+b\(\sqrt{2}\) gesetzt. Umgeformt wäre a = 1 - b\(\sqrt{2}\) und b = \(\frac{1-a}{\sqrt{2}}\)
Da \(\sqrt{2}\) nicht Element von Q ist und sich für a und b nicht herauskürzen lässt, ohne, dass a oder b selbst reell werden, gehen wir davon aus, dass das neutrale Element 1 nicht in Q[\(\sqrt{2}\)] - {0} darstellbar ist.
Auf die Ausführungen zum neutralen Element sind wir erst durch die Diskussion des Inversen gekommen. Daher vielen Dank. Ich hoffe, wir haben alles richtig verstanden! ─ mpiegza 10.09.2019 um 21:44