Konvergenz überprüfen


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Bei der oberen Aufgabe habe ich keinen Ansatz wie ich die Konvergenz bestimmen kann, bitte daher um Lösung mit Lösungsweg. 

Die 3 Partialsummen müssten glaube ich 1; 0,5 und 1/24 sein. 

MfG

 

gefragt vor 2 Monate, 3 Wochen
a
akoethen,
Student, Punkte: 20
 
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1 Antwort
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Deine Partialsummen sind nicht richtig. 

Du hast nur die Werte für die Terme mit n=0,1,2 ausgerechnet. Bei der Partialsumme musst du diese jedoch addieren!

Die Formel für die Partialsumme ist doch \( s_{n}= \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k} \).

Es gilt also

\( s_{0}=1 \)

\(s_{1}=1+ \frac{1}{2} = 1,5 \)

\( s_{2}=1+\frac{1}{2} +\frac{1}{24} \).

 

Bei der Konvergenzbestimmung bei Reihen, in denen Fakultäten auftauchen bietet es sich oft an das Quotientenkriterium zu probieren, da sich oft dadurch viel wegkürzt und meist auch die Fakuktätsoperation. Das sieht man in deinem Beispiel sehr schön:

Ich hoffe du hattest dieses Kriterium schon dran.

Hier noch ein etwas konplizierteres Beispiel, falls du das Kritium noch einmal üben möchtest:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{(3n)!} \)

Untersuche doch mal analog diese Reihe auf Konvergenz.

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
jojoliese,
Student, Punkte: 962
 

Ich sehe gerade, dass ich etwas fix war am Ende meiner Anwendung des Quotientenkriteriums. Der Grenzwert ist null und damit selbstverständlich kleiner 1.
Ich habe nur festgestellt, dass für jedes natürliche n der Term kleiner 1 ist, wasnicht gleichbedeutend mit einem Grenzwert kleiner 1 ist!
  -   jojoliese, kommentiert vor 2 Monate, 3 Wochen

Kannst du mir erklären woher bei dem längeren Bruch der Nenner "entstanden ist", da ich mir nicht erklären kann wo das …/…*(2n)(2n-1)! herkommt?
  -   akoethen, kommentiert vor 2 Wochen, 2 Tage

Ich habe zuerst die Klammer aufgelöst, also \( (2(n+1))!=(2n+2)! \) und dann einfach die größten 3 Faktoren der Fakultät explizit ausgeschrieben ;)   -   jojoliese, kommentiert vor 2 Wochen, 2 Tage

Sorry vielleicht bin ich einfach wirklich zu dumm :-), aber (2n+2)! entspricht ja (2n+2)*(2n+1). Was ich jetzt nicht verstehe ist wo die (2n)(2n-1)! noch herkommen bzw. was mir das nützt. Wenn du mir das nochmal genau erklären könntest, wie man auf den Ausdruck kommt und wofür ich das brauch wäre echt nett.   -   akoethen, kommentiert vor 2 Wochen

Nein, das stimmt nicht. \((2n+2)!=(2n+2)\cdot(2n+1)\cdot(2n)\cdot(2n-1)\cdot(2n-2)\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1\) und deshalb kannst du einzelne Faktoren explizit ausschreiben. Zum Beispiel gilt: \(5!=5\cdot4!=5\cdot4\cdot3!\). Sie hat das gemacht, damit sie kürzen kann! :)   -   endlich verständlich, verified kommentiert vor 2 Wochen
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