Approximation durch Normalverteilung

Erste Frage Aufrufe: 952     Aktiv: 15.09.2019 um 18:15
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Hallo Community,

 

folgende Aufgabe:

 

Glühbirnen werden in Kartons zu 1000 Stück verpackt. Erfahrungsgemäß finden sich dabei 100 defekte Glühbirnen. Einem KArton werden zufällig 50 Glühbirnen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich genau 5 defekte Glühbirnen darunter befinden ?

Bestimmen Sie diese Wahrscheinlichkeit

a) mit der Binomialverteilung

b) Nähern Sie die Hypergeometrische Verteilung durch die Normalverteil an (Approximation) und führen Sie die Berechnung durch!

 

Die a) ist für mich kein Problem, die Werte n = 50, x = 5 und p = 10% = 0,1 in die Formel

\(P(x|n,p) = \frac{n!}{(n-x)!} \cdot p^{x} \cdot (1-p)^{n-x}\)

gepackt und es kommen 0,1849 = 18,49% raus.

 

Bei der b) hab ich Probleme...

Die Formel laut meinem Skript für die Hypergeometrische Verteilung:

\(P(x|n,N,A) = \frac {\begin{pmatrix} A \\ x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} N & - & A \\ n & - & x \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \)

Mit:

n = 50; N = 1000; A = 100; x = 5

Die Bedingungen \( x \le A \) und \( x \le n \) sind erfüllt. Mein Taschenrechner zeigt mir aber als "Math Error" an.

Kann mir da bitte einer helfen ?

 

 

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Punkte: 10

 
Man kann leider noch nicht alles lesen, bitte noch ein bisschen an den Formeln feilen   ─   vt5 15.09.2019 um 15:14

Fehler gefunden und behoben, gibt leider keine Vorschau ...
   ─   JosefAliAlMasri 15.09.2019 um 15:18
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Wenn du das, was du angegeben hast richtig eingibst (und es nicht die Berechnungsgrenze des TR sprengt  - Größenordnung hier 9.5*10^85) solltest du auf 0,18972 kommen... 

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Auf dem Casio fx-82ES funktioniert es nach wie vor nicht, auf dem TI-nspire komme ich auch auf das Ergebnis. Danke

Ist das denn das Endergebnis oder muss man noch mehr machen? - Kommt mir so wenig vor   ─   JosefAliAlMasri 15.09.2019 um 15:38
Beachte auch die Antwort von maccheroni, aber es ist so, dass manche Taschenrechner "ncr" irgendwann nicht mehr berechnen können, du weißt ja bestimt wie Fakultäten anwachsen, und dass man "ncr" nicht damit direkt (also NICHT mit n! berechnen sollte, sondern vorher immer kürzen... )   ─   vt5 15.09.2019 um 16:22

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Bei b sollst du die hyperg. Vtl. durch die Normalvtl. approximieren. 

Die Voraussetzungen sind erfüllt und es gilt \(\mu = 50\,\dfrac{100}{1000} = 5,\, \sigma^2 = \dfrac{100\cdot 50 \cdot (1000-100)}{1000^2}=4.5\).

Sei \(X\) die Anzahl der defekten Birnen.

Somit ergibt sich \(P(X=5) \approx \Phi\left(\dfrac{5+0.5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\dfrac{5-0.5-\mu}{\sigma}\right) \approx 0.1863\).

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Die Formel für µ habe ich auch im Skript stehen
\( µ = n \cdot p\)
Für die Standardabweichung jedoch
\( σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \)
Wenn ich das noch quadriere komme ich auf 4,2792 und nicht auf 4,5 ?   ─   JosefAliAlMasri 15.09.2019 um 16:10
Was ist N dann in deinem Fall - so habe ich die Formel noch nie gesehen, es wird aber ein (wohl für eure Anwendungen üblicher) Korrekturwert sein, wie es ihn auch in anderen Fällen immer mal wieder gibt (der Korrekturwert sollte ja nah an 1 liegen, und dem ist auch etwa so...)   ─   vt5 15.09.2019 um 16:31
Das ist die Formel für die Standardabweichung bei der Hypergeometrischen Verteilung mit
n = Probengröße
N = Größe der Grundgesamtheit
A = Anzahl der Erfolge in der Grundgesamtheit
x = Anzahl der Erfolge in der Probe   ─   JosefAliAlMasri 15.09.2019 um 16:36
\(\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}\) resultiert quadriert wieder in meiner Varianz.
Der zweite Wurzelterm soll die Approximation verfeinern, da in der hypergeom. Vtl. die einzelnen Stichprobenelemente nicht zurückgelegt werden.   ─   maccheroni_konstante 15.09.2019 um 16:39
Ich dürfte nun das richtige Ergebnis haben, allerdings auf einem anderen Wege.Die Normalverteilung kann verwendet werden da die beiden Bedingungen erfüllt sind.
1) \( n \cdot p \ge 5 \)
2) \( n \cdot (1-p) \ge 5 \)
Mit dem nächsten Schritt wird z berechnet, mit
\( z = \frac{x-n \cdot p \pm 0,5}{\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}} \)
z = 0,2147 zu diesem z- Wert gibt es einen zugehörigen Wert aus einer Tabelle. Aus der entnehme ich den Wert 0,0948. Diese Wahrscheinlichkeit ist gegeben bei einer Normalverteilung im Bereich 0 - z. Somit komme ich auf eine Wahrscheinlichkeit von 18,96%   ─   JosefAliAlMasri 15.09.2019 um 17:03

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