Hallo,

du willst die Gleichung

$$\det(A)=(x+(n-1)y)(x-y)^{n-1}$$

beweisen. Dafür ist es doch sinnvoll irgendwie den Faktor \((x+(n-1)y)\) vor deine Matrix zu ziehen und zu hoffen, dass man sehen kann, dass für die restliche Matrix \(A'\) gilt:

$$\det(A')=(x-y)^{n-1}.$$

Wenn man Spalten zu anderen Spalten addiert, dann ändert sich die Determinante nicht. Deshalb addiert man die zweite Spalte zur ersten. Danach die dritte, die vierte und so weiter.

Das Ergebnis dieser Addition ist genau was wir gesucht haben, denn wenn in einer Spalte jede Zeile den gleichen Faktor hat, dann darf man ihn aus der Determinante rausziehen. Beliebter Fehler:

$$\det\Biggl(\begin{pmatrix}2&4\\4&2\end{pmatrix}\Biggr)=2\det\Biggl(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\Biggr)$$

Die linke Seite ist gleich \(-12\), die rechte gleich \(-6\). Du darfst Faktoren nur pro Spalte rausziehen. Richtig wäre:

$$\det\Biggl(\begin{pmatrix}2&4\\4&2\end{pmatrix}\Biggr)=2\det\Biggl(\begin{pmatrix}1&4\\2&2\end{pmatrix}\Biggr),$$

weil nur die Faktoren aus der ersten Spalte rausgezogen wurden. Willst du noch mehr rausziehen, dann gilt:

$$\det\Biggl(\begin{pmatrix}2&4\\4&2\end{pmatrix}\Biggr)=2\cdot2\det\Biggl(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\Biggr).$$

Zeilen zu anderen Zeilen addieren ändert die Determinante auch nicht und eine Matrix in oberer Dreiecksform hat als Determinante das Produkt der Diagonalen.

Wenn du explizit nach dem "Warum" fragst, dann ist die Antwort oft "Weil es zur Lösung führt". Beweise lassen sich oft nicht verallgemeinern, sondern erfordern eine gewisse Kreativität. Mein Professor hat gleich in der ersten Vorlesung gesagt: "80% meiner Rechnungen landen direkt im Müll!".

Also einfach kreative Dinge ausprobieren und überlegen, was zum Ziel führen könnte. In diesem Beispiel ist es erst Spalten addieren um den ersten Faktor rausziehen zu dürfen und dann Zeilen addieren um eine obere Dreiecksmatrix zu erhalten. Bei einer anderen Aufgabe kann es hilfreich sein, die Matrix in Blockdiagonalform zu bringen, oder zu erkennen, das Spalten linear abhängig sind.

Wichtig ist, dass du den Beweis verstehst und erkennst, warum das Vorgehen zum Ziel führt! 

Ich hoffe das hilft dir! :)