Probleme beim Lösen von x^4+1=0

Aufrufe: 797     Aktiv: 19.11.2019 um 22:52
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Hallo, für x^4 + 1 = 0 bekomme ich durch komplexes Wurzelziehen 4 Lösungen. Nun zeigt mir WolframAlpha jedoch noch folgende zwei zusätzlich an - würde mich interessieren, woher diese kommen, bzw. wie man auf diese schließt:  x = -(-1)^(3/4) und x = (-1)^(3/4).

 

 

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Hallo,

wir substituieren \( z = x^2 \) und erhalten

$$ z^2 + 1 = 0 \\ z^2 = -1 \\ z_{1/2} = \pm \sqrt{-1} $$

Wir substituieren zurück und erhalten zwei Fälle

$$ x^2 = \pm \sqrt{-1} $$

Daraus resultiert

$$ x_{1/2}^2 = \sqrt{-1} \\ x_{1/2} = \pm \sqrt[4]{-1} $$

und

$$ x_{3/4}^2 = -\sqrt{-1} \\ x_{3/4}^2 = -i \\ x_{3/4} = \pm \sqrt{-i} \\ x_{3/4} = \pm (-1)^{\frac 3 4} $$

Grüße Christian

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