Hallo,

l'Hospital wendet man an, wenn man bei der Berechnung eines Grenzwertes auf undefinierte Ausdrücke der Form

$$ \frac 0 0 , \ 0 \cdot \infty , \ \infty - \infty , \ \frac {\infty} {\infty}, \ 0^0, \ \infty^0  $$

Wenn das passiert, dann haben wir zwei Funktionen, die gegen \( 0 \) oder \( \infty \) konvergieren.

Wenn wir nun den Grenzwert einer Funktion

$$ \lim\limits_{x \to x_0} \frac {g(x)} {h(x)} $$

berechnest und einen der obigen undefinierten Ausdrücke erhälst, dann kannst du die Ableitung dieser beiden Funktionen berechnen und den Grenzwert des neuen Quotienten berechnen

$$ \lim\limits_{x \to x_0} \frac {g(x)} {h(x)} =  \lim\limits_{x \to x_0} \frac {g'(x)} {h'(x)}  $$

Erhälst du wieder einen undefinierten Ausdruck fährst du solange fort, bis du entweder einen definierten Ausdruck erhälst oder du nicht weiter differenzieren kannst.

Gucken wir uns einmal zusammen die erste an

a) $$ \lim\limits_{x \to a} \frac {x^2-a^2} {x-a}  $$

Wir bräuchten hier gar nicht l'hospital, denn es gilt

$$ x^2 - a^2 = (x-a)(x+a) $$

Damit könnten wir kürzen 

$$ \lim\limits_{x \to a} \frac {(x-a)(x+a)} {x-a} = \lim\limits_{x \to a} (x+a) = 2a $$

Gucken wir uns die Aufgabe einmal mit dem l'Hospital an

$$  \lim\limits_{x \to a} \frac {x^2-a^2} {x-a}  = \frac {a^2 - a^2} {a-a} = \frac 0 0 $$

Wir erhalten einen undefinierten Ausdruck. Also leiten wir die Nenner und Zählerfunktion ab

$$ g(x) = x^2 - a^2 \\ \Rightarrow g'(x) = 2x $$

$$ h(x) = x-a \\ \Rightarrow h'(x) = 1 $$

Damit erhalten wir

$$ \lim\limits_{x \to a} \frac {x^2-a^2} {x-a} = \lim\limits_{x \to a} \frac {2x} {1} = \lim\limits_{x \to a} 2x = 2a $$

Wir erhalten also als Probe das selbe Ergebnis.

Versuch dich mal bei den anderen Aufgaben. Ich gucke gerne nochmal drüber :)

Grüße Christian