Hallo mahte92x, 

zum Thema Basiswechsel gibt es viele gute Videos direkt von Daniel auf Youtube, eines zum Beispiel hier:

https://www.youtube.com/watch?v=1xsnQdYLwEs

Falls dir die Rechnerei klar ist, dir allerdings die "praktische" Anwendung fehlt, hier ein Versuch meinerseits:

Stellt dir ein ganz normales Koordinatensystem in der Ebene mit einer x- und y-Achse vor wie in meiner Skizze. Möchte ich dort nun die Koordinaten eines Punktes P im schwarz gezeichneten Basiskoordinatesystem angeben, so kann ich dies mit dem Vektor v machen. In diesem steht, dass ich beispielsweise 2 in x- und 5 in y-Richtung gehen muss. 

Aus irgendeinem Grund möchten wir nun allerdings ein anderes Koordinatensystem verwenden (z. B. weil wir dann für unseren Anwendungsfall angenehmere Werte erhalten). In meiner Skizze entspricht dieses neue Koordinatensystem dem rot gezeichneten. Das Problem, das wir jetzt haben ist nun allerdings, dass wir in unserem roten Koordinatensystem nicht mehr 2 in x- und 5 in y-Richtung gehen können, um zum Punkt P zu gelangen. Wir müssen also einen Basiswechsel durchführen, um die neuen Einträge unseres Vektors v im neuen roten Koordinatensystem zu erhalten.

Der Wechsel von einem Koordinatensystem zu einem anderen kann eben mit so einer Basiswechselmatrix geschehen indem man den Vektor mit einer geeigneten Matrix multipliziert.