Abschätzung: \(\sum_{k=1}^{n} \frac {1} {k^2}<2 \)

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Aufgabe: Zeigen Sie, dass \(\sum_{k=1}^{n} \frac {1} {k^2}<2 \) für alle n.

Sie dürfen benutzen, dass  \(\sum_{k=1}^{m} 2^{-k}<1\) für alle m.


Ich habe zwei Lösungen, von denen ich weiß, dass sie richtig sind. Jetzt habe ich aber das Problem, dass ich keine der Lösungen mehr nachvollziehen kann.

Die erste Lösung ist:

\(\sum_{k=1}^{n} \frac {1} {k^2}\le\ 1+\sum_{k=2}^{n} \frac {1} {k(k-1)}=1+ \sum_{k=2}^{n} (\frac {1} {k-1}-\frac {1} {k})=1+1-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}<2\)

Hier verstehe ich, weshalb die 1 herausgezogen wird und das die erste Abschätzung stimmt, auch wenn ich den Gedankengang von der Abschätzung noch nicht ganz sehe (warum \(\frac {1} {k(k-1)}\)?). Als nächstes kann ich nicht nachvollziehen, wie der Bruch "auseinandergezogen wurde. Die vorletzte Gleichung verstehe ich dann gar nicht mehr. Wo kommt das "n" her? Wie kommt die Gleichung überhaupt zustande? Abgesehen von diesen Unklarheiten ist der Rest verständlich.

 

Die zweite Lösung ist (So wurde es in der Übung gelöst):

Für n, Element aus den natürlichen Zahlen, existiert ein i, Element aus den natürlichen Zahlen, sodass: \(n<2^{i+1}-1\)

(Sorry, ich weiß nicht, wie ich Quantoren schreiben kann)

Zuvor hatten wir gezeigt, dass \(\sum_{k=2^N}^{2^{N+1}-1}\frac{1}{k^2}\le2^{-N}\) gilt.

Jetzt ist die Antwort:

\(\sum_{k=1}^{n} \frac {1} {k^2}<\sum_{k=1}^{2^{i+1}-1}\frac{1}{k^2}=\sum_{N=0}^{i}(\sum_{k=2^{N}}^{2^{N+1}-1}\frac{1}{k^2})\le\sum_{N=0}^{i}2^{-N}\le2\)

Die erste Ungleichung ist klar. Die Doppelsumme verstehe ich gar nicht und dann leuchtet mir noch nicht so richtig ein, weshalb ich davon ausgehen kann, dass das \(\le2\) ist.

Ich würde micht sehr über eine ausführliche Antwort freuen. Wir hatten die Aufgabe ziemlich zu Anfang als Übungsaufgabe und ich wiederhole gerade alles nochmal.

 

Vielen Dank!

 

gefragt vor 2 Monate, 3 Wochen
n
notoleon,
Student, Punkte: 39
 
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1 Antwort
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Hallo!

 

\(\displaystyle \frac{1}{k^2} = \frac{1}{k\cdot k} < \frac{1}{k\cdot (k-1)} \), denn \(\displaystyle  k\cdot (k-1) < k \cdot k\) [weil \(\displaystyle  k > k - 1\)] und Du somit durch eine kleinere Zahl dividierst, sprich der Bruch wird größer. Nun darf aber die Summe nicht bei \(\displaystyle  k = 1\) anfangen, denn sonst würde man durch die Zahl \(\displaystyle  0\) teilen. Wir müssen also mit der \(\displaystyle  k = 2\) beginnen und erhalten \(\displaystyle  \frac{1}{2} + \cdots\). Links vom Gleichheitszeichen haben wir aber am Anfang eine \(\displaystyle  1\), sprich die addieren wir auf der anderen Seite hinzu, damit die Ungleichung in Ihrer Gesamtheit gültig ist/bleibt.

 

\(\displaystyle  \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} = \frac{k-(k-1)}{k(k-1)} = \frac{1}{k(k-1)}\), gemäß der Regel \(\displaystyle  \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}\). Wenn wir nun die Summe ausschreiben, sehen wir, dass sich gewisse Summenglieder herauskürzen, nämlich:

 

\(\displaystyle  \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right) = 1 + \frac{1}{n}\).

 

Zur nächsten Aufgabe:

 

\(\displaystyle  \sum_{N=0}^{i}\left(\sum_{k=2^N}^{2^{N+1}-1} a_k\right) = \underbrace{\sum_{k=1}^{1}a_k}_{N=0} + \underbrace{\sum_{k=2}^{3}a_k}_{N=1} + \underbrace{\sum_{k=4}^{7}a_k}_{N=2} + \cdots + \underbrace{\sum_{k=2^i}^{2^{i+1}-1}a_k}_{N=i} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{2^{i+1}-1} = \sum_{k=1}^{2^{i+1}-1} a_k\), man hat also sozusagen nur die „Menge“, welche man „auf einmal“ summiert, unterteilt.

 

Desweiteren gilt:

 

\(\displaystyle  \sum_{N=0}^{i} \left(\frac{1}{2}\right)^{N} = \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{i+1}}{1-\frac{1}{2}} < 2\), denn formt man um, erhält man, dass

 

\(\displaystyle  1-\left(\frac{1}{2}\right)^{i+1} < 2\left(1-\frac{1}{2}\right) = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{i+1} < 1\), wobei \(\displaystyle  \left(\frac{1}{2}\right)^{i+1} > 0\). Bemerkung: \(\displaystyle  2^{-N} = \frac{1}{2^N} = \left(\frac{1}{2}\right)^{N}\).

 

Gruß.

geantwortet vor 2 Monate, 3 Wochen
e
einmalmathe, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.55K
 

Vielen vielen Dank @einmalmathe!
du hast mir unglaublich geholfen.
  -   notoleon, vor 2 Monate, 3 Wochen
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