Hallo!

\(\displaystyle \frac{1}{k^2} = \frac{1}{k\cdot k} < \frac{1}{k\cdot (k-1)} \), denn \(\displaystyle  k\cdot (k-1) < k \cdot k\) [weil \(\displaystyle  k > k - 1\)] und Du somit durch eine kleinere Zahl dividierst, sprich der Bruch wird größer. Nun darf aber die Summe nicht bei \(\displaystyle  k = 1\) anfangen, denn sonst würde man durch die Zahl \(\displaystyle  0\) teilen. Wir müssen also mit der \(\displaystyle  k = 2\) beginnen und erhalten \(\displaystyle  \frac{1}{2} + \cdots\). Links vom Gleichheitszeichen haben wir aber am Anfang eine \(\displaystyle  1\), sprich die addieren wir auf der anderen Seite hinzu, damit die Ungleichung in Ihrer Gesamtheit gültig ist/bleibt.

\(\displaystyle  \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} = \frac{k-(k-1)}{k(k-1)} = \frac{1}{k(k-1)}\), gemäß der Regel \(\displaystyle  \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}\). Wenn wir nun die Summe ausschreiben, sehen wir, dass sich gewisse Summenglieder herauskürzen, nämlich:

\(\displaystyle  \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right) = 1 + \frac{1}{n}\).

Zur nächsten Aufgabe:

\(\displaystyle  \sum_{N=0}^{i}\left(\sum_{k=2^N}^{2^{N+1}-1} a_k\right) = \underbrace{\sum_{k=1}^{1}a_k}_{N=0} + \underbrace{\sum_{k=2}^{3}a_k}_{N=1} + \underbrace{\sum_{k=4}^{7}a_k}_{N=2} + \cdots + \underbrace{\sum_{k=2^i}^{2^{i+1}-1}a_k}_{N=i} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{2^{i+1}-1} = \sum_{k=1}^{2^{i+1}-1} a_k\), man hat also sozusagen nur die „Menge“, welche man „auf einmal“ summiert, unterteilt.

Desweiteren gilt:

\(\displaystyle  \sum_{N=0}^{i} \left(\frac{1}{2}\right)^{N} = \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{i+1}}{1-\frac{1}{2}} < 2\), denn formt man um, erhält man, dass

\(\displaystyle  1-\left(\frac{1}{2}\right)^{i+1} < 2\left(1-\frac{1}{2}\right) = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{i+1} < 1\), wobei \(\displaystyle  \left(\frac{1}{2}\right)^{i+1} > 0\). Bemerkung: \(\displaystyle  2^{-N} = \frac{1}{2^N} = \left(\frac{1}{2}\right)^{N}\).

Gruß.