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Hallo,
in der dritten Matrix hast du in der letzten Zeile einen Fehler gemacht. Es müsste
$$ \begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 & 18 \end{pmatrix} $$
Zur letzten Matrix hast du auch einen Fehler gemacht. Es ist zwar richtig das zwei Zeilen linear abhängig sind, aber in diesen Fall verschwindet nur eine Zeile und nicht beide.
Du erhälst also am Ende die Matrix
$$ \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 9 \\ 0 & 3 & 6 & 18 \\ 0 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Eine Schritt musst du noch machen, um diese Matrix in Zeilenstufenform zu bringen.
Nun weißt du damit aber nur wie viele linear unabhängige Vektoren in deinem Erzeugendensystem sind. Deine Vektoren sind aber deine Spalten und nicht deine Zeilen. Deshalb kannst du keine direkte Aussage zu der Basis machen.
Wenn du elementare Spaltenoperationen genutzt hättest, anstatt elementarer Zeilenoperationen, dann wären deine Spalten bereits eine Basis.
Wenn dir Zeilenoperationen leichter fallen, kannst du die Matrix die du hast auch transponieren.
Jetzt kannst du dir überlegen, ob du das ganze nochmal mit der transponierten durchführst, oder ob du prüfst, welcher Vektor von den anderen 3 erzeugt wird.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Sehr gerne :)
Elementare Zeilenoperationen sind beispielsweise zwei Zeilen addieren oder eine Zeile mit einem Wert multiplizieren, etc. Eben diese Operationen, die man nutzt um die Zeilenstufenform zu erreichen.
Elementare Spaltenoperationen, sind die selben Operationen nur auf die Spalten anstatt auf die Zeilen bezogen.
Also zwei Spalten miteinander addieren...
Transponieren bedeutet, das wir die Matrix an der Hauptdiagonalen spiegeln. Im Prinzip könntest du auch die Vektoren als Zeilen anstatt als Spalten in die Matrix eintragen. Dann würdest du das selbe bekommen.
Es geht im Prinzip darum, dass du die Operationen die du beim umformen in die Zeilenstufenform nutzt auf die gegebenen Vektoren anwendest. Denn dann addierst du im Prinzip deine gegebenen Vektoren (und ihre Vielfachen). Wenn dann eine Nullzeile entsteht, bedeutet dass das wir beim addieren der Vielfachen von den Vektoren Null erhalten, ohne einen ganzen Vektor Null zu setzen (linear Abhängigkeit)
Die Zeilen/Spalten (je nachdem worauf man die Operationen anwendet) die dann nicht Null sind, sind dann aus der Kombination der anderen Vektoren entstanden und zusätzlich linear unabhängig zu den anderen Zeilen/Spalten.
Verstehst du wie ich das meine?
So nun zum rechnen. Du könntest also entweder die Matrix
$$ \begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 & 9 \\ 1 & 4 & 7 & 9 \\ 2 & 5 & 8 & 9 \\ 9 & 9 & 9 & 9 \end{pmatrix} $$
in Zeilenstufenform bringen, so wie du es mit deiner ersten Matrix gemacht hast. Die nicht Nullzeilen bilden dann eine Basis. Diese Matrix ist die transponierte zu deiner Matrix.
Wenn nun keiner der Vektoren ein direktes Vielfaches eines anderen Vektors ist, dann wird dieser von mindestens zwei der anderen wenn nicht sogar 3 der anderen Vektoren erzeugt (wir wissen ja schon, das es 3 linear unabhängige Vektoren sind und einer abhängiger) Deshalb könnte man einfach mal ansetzen
$$ v_4 = t \cdot v_1 + s \cdot v_2 + r \cdot v_3 $$
Wenn diese Gleichung erfüllt werden kann, dann wird \(v_4 \) von den anderen erzeugt und ist somit linear abhängig von den anderen.
Dieser Schritt bietet sich aber nur an, weil wir eben schon wissen das es 3 linear unabhängige Vektoren sind. Ansonsten wäre es zu viel gerate. ─ christian_strack 12.01.2020 um 19:23
Elementare Zeilenoperationen sind beispielsweise zwei Zeilen addieren oder eine Zeile mit einem Wert multiplizieren, etc. Eben diese Operationen, die man nutzt um die Zeilenstufenform zu erreichen.
Elementare Spaltenoperationen, sind die selben Operationen nur auf die Spalten anstatt auf die Zeilen bezogen.
Also zwei Spalten miteinander addieren...
Transponieren bedeutet, das wir die Matrix an der Hauptdiagonalen spiegeln. Im Prinzip könntest du auch die Vektoren als Zeilen anstatt als Spalten in die Matrix eintragen. Dann würdest du das selbe bekommen.
Es geht im Prinzip darum, dass du die Operationen die du beim umformen in die Zeilenstufenform nutzt auf die gegebenen Vektoren anwendest. Denn dann addierst du im Prinzip deine gegebenen Vektoren (und ihre Vielfachen). Wenn dann eine Nullzeile entsteht, bedeutet dass das wir beim addieren der Vielfachen von den Vektoren Null erhalten, ohne einen ganzen Vektor Null zu setzen (linear Abhängigkeit)
Die Zeilen/Spalten (je nachdem worauf man die Operationen anwendet) die dann nicht Null sind, sind dann aus der Kombination der anderen Vektoren entstanden und zusätzlich linear unabhängig zu den anderen Zeilen/Spalten.
Verstehst du wie ich das meine?
So nun zum rechnen. Du könntest also entweder die Matrix
$$ \begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 & 9 \\ 1 & 4 & 7 & 9 \\ 2 & 5 & 8 & 9 \\ 9 & 9 & 9 & 9 \end{pmatrix} $$
in Zeilenstufenform bringen, so wie du es mit deiner ersten Matrix gemacht hast. Die nicht Nullzeilen bilden dann eine Basis. Diese Matrix ist die transponierte zu deiner Matrix.
Wenn nun keiner der Vektoren ein direktes Vielfaches eines anderen Vektors ist, dann wird dieser von mindestens zwei der anderen wenn nicht sogar 3 der anderen Vektoren erzeugt (wir wissen ja schon, das es 3 linear unabhängige Vektoren sind und einer abhängiger) Deshalb könnte man einfach mal ansetzen
$$ v_4 = t \cdot v_1 + s \cdot v_2 + r \cdot v_3 $$
Wenn diese Gleichung erfüllt werden kann, dann wird \(v_4 \) von den anderen erzeugt und ist somit linear abhängig von den anderen.
Dieser Schritt bietet sich aber nur an, weil wir eben schon wissen das es 3 linear unabhängige Vektoren sind. Ansonsten wäre es zu viel gerate. ─ christian_strack 12.01.2020 um 19:23
Okay super das mit den Operationen habe ich schonmal verstanden.
Das Transponieren, geht das immer so leicht ?
Kurze Nebenfrage woher soll ich wissen dass ich die Matrix transponieren musste ? Das hat was mit dem Text vor der transponierenten Matrix zu tun oder ? Damit ich weiß ob es linear unabhängig ist und wie die Basis aufgespannt wird ?
Wenn ich die neue(transponierte) Matrix in Zeilenstufenform gebracht habe lautet sie so bei mir:
von oben nach unten gelesen erste Spalte : 1 0 0 0, zweite Spalte: 4 27 3 0, dritte 7 54 6 0 , vierte 9 72 9 0
muss ich die dann auch so in die Gleichung einsetzten ? ─ mimihopsi 12.01.2020 um 19:45
Das Transponieren, geht das immer so leicht ?
Kurze Nebenfrage woher soll ich wissen dass ich die Matrix transponieren musste ? Das hat was mit dem Text vor der transponierenten Matrix zu tun oder ? Damit ich weiß ob es linear unabhängig ist und wie die Basis aufgespannt wird ?
Wenn ich die neue(transponierte) Matrix in Zeilenstufenform gebracht habe lautet sie so bei mir:
von oben nach unten gelesen erste Spalte : 1 0 0 0, zweite Spalte: 4 27 3 0, dritte 7 54 6 0 , vierte 9 72 9 0
muss ich die dann auch so in die Gleichung einsetzten ? ─ mimihopsi 12.01.2020 um 19:45
Transponieren heißt einfach die Matrix an der Hauptdiagonalen spiegeln. Mehr heißt das erstmal nicht.
Du musst die Matrix auch nicht transponieren. Du könntest auch deine Matrix nehmen und Spaltenoperationen durchführen um die Matrix in Treppenstufenform zu bringen.
Da man aber meistens Zeilenoperationen nutzt und dies mehr gewöhnt ist, wollte ich dir im Prinzip nur sagen das du deine Matrix transponieren kannst um dann Zeilenoperationen nutzen zu dürfen.
Wie gesagt der hinter Gedanke ist das du die Operationen auf die Vektoren anwendest. Wenn du dir deine Matrix anguckst sind die gegebenen Vektoren in die Spalten geschrieben und wenn du die Matrix transponierst sind die Vektoren in die Zeilen geschrieben. Wenn du nun die Operationen auf die Vektoren anwenden möchtest, dann musst du diese Operationen nehmen die auf die Spalten wirken, wenn die Vektoren als Spalten geschrieben sind, bzw auf die Zeilen wirken, wenn die Vektoren in den Zeilen stehen.
Wird dieser Gedanke klar?
Ich erhalte
$$ \begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 & 9 \\ 1 & 4 & 7 & 9 \\ 2 & 5 & 8 & 9 \\ 9 & 9 & 9 & 9 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 & 9 \\ 0 & 3 & 6 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ ─ christian_strack 12.01.2020 um 20:49
Du musst die Matrix auch nicht transponieren. Du könntest auch deine Matrix nehmen und Spaltenoperationen durchführen um die Matrix in Treppenstufenform zu bringen.
Da man aber meistens Zeilenoperationen nutzt und dies mehr gewöhnt ist, wollte ich dir im Prinzip nur sagen das du deine Matrix transponieren kannst um dann Zeilenoperationen nutzen zu dürfen.
Wie gesagt der hinter Gedanke ist das du die Operationen auf die Vektoren anwendest. Wenn du dir deine Matrix anguckst sind die gegebenen Vektoren in die Spalten geschrieben und wenn du die Matrix transponierst sind die Vektoren in die Zeilen geschrieben. Wenn du nun die Operationen auf die Vektoren anwenden möchtest, dann musst du diese Operationen nehmen die auf die Spalten wirken, wenn die Vektoren als Spalten geschrieben sind, bzw auf die Zeilen wirken, wenn die Vektoren in den Zeilen stehen.
Wird dieser Gedanke klar?
Ich erhalte
$$ \begin{pmatrix} 0 & 3 & 6 & 9 \\ 1 & 4 & 7 & 9 \\ 2 & 5 & 8 & 9 \\ 9 & 9 & 9 & 9 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 & 9 \\ 0 & 3 & 6 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ ─ christian_strack 12.01.2020 um 20:49
Super ja der Gedanke ist Klar !
Oh ja habe den letzten Schritt nicht gesehen , wie setzte ich sie jetzt in die Gleichung ein, die jetzt gegebenen Spalten korrekt ?
─ mimihopsi 12.01.2020 um 20:54
Oh ja habe den letzten Schritt nicht gesehen , wie setzte ich sie jetzt in die Gleichung ein, die jetzt gegebenen Spalten korrekt ?
─ mimihopsi 12.01.2020 um 20:54
Ok sehr gut :)
Die einzelnen Zeilen bilden nun eine Basis von \( U \).
In der Zeilenstufenform sind alle Zeilen linear unabhängig zueinander (mit Ausnahme der Nullzeilen). Da diese Zeilen aus den ursprünglichen Vektoren erzeugt werden (eben durch die elementaren Operationen), bilden sie somit eine Basis.
Also ist deine Basis
$$ \mathcal{A} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} \right\} $$
─ christian_strack 12.01.2020 um 21:03
Die einzelnen Zeilen bilden nun eine Basis von \( U \).
In der Zeilenstufenform sind alle Zeilen linear unabhängig zueinander (mit Ausnahme der Nullzeilen). Da diese Zeilen aus den ursprünglichen Vektoren erzeugt werden (eben durch die elementaren Operationen), bilden sie somit eine Basis.
Also ist deine Basis
$$ \mathcal{A} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} \right\} $$
─ christian_strack 12.01.2020 um 21:03
Super vielen Dank !
─ mimihopsi 12.01.2020 um 21:18
─ mimihopsi 12.01.2020 um 21:18
Sehr gerne :)
─
christian_strack
12.01.2020 um 21:20
erstmal super dass du mir wieder hilfst !
Wie genau meinst du dass mit der "elementaren Spaltenoperation " ? Hätte ich die Matrix anders aufschreiben müssen ?
Ich würde gerne beides (transponieren und prüfen ) durch führen um besser entscheiden zu können was für mich einfacher ist .
Bei dem "transponieren" habe ich leider aber keine Ahnung .
Bei dem prüfen hätte ich gerade eine Idee :
c = t*v1 +s* v2+w* v3 + r* v4 (also die v´s aus der letzen Matrix)
─ mimihopsi 12.01.2020 um 19:01