Question

Wahrscheinlichkeitsrechnung Satz von Bayes

Erste Frage Aufrufe: 626 Aktiv: 28.01.2020 um 17:26

0

Hi zusammen!

Ich hätte da eine Frage zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit Satz von Bayes die Aufgabe lautet folgendermassen:

Aufgrund von epidemiologischen Befragungen wird die Prävalenz depressiver Erkrankter auf 4% geschätzt. Durch einen Test innerhalb einer Studie wurden 85% der Patienten mit einer depressiven Erkrankung positiv getestet, wobei 7% der Untersuchten fälschlicherweise als depressiv diagnostiziert wurden.

Wie gross ist also die Wahrscheinlichkeit für eine depressive Erkrankung, bei einem positiven Befund aufgrund des Testes?

Ich verstehe bei dieser Aufgabe nicht ganz wie genau nun der Satz angewendet werden soll wenn ich ja gar nicht weiss wie viele Menschen in dem Experiment teilgenommen haben...

Wäre absolut cool wenn mir vielleicht jemand von euch aufzeigen könnte wie genau ich diese Aufgabe zu lösen habe?

Liebe Grüsse

Valerie

Teilen Diese Frage melden

gefragt 18.01.2020 um 15:13

valerie.m.
Punkte: 10

Kommentar schreiben

1 Antwort

tombjarne · Answer 1 · 2020-01-28T17:26:39Z

Hi Valerie,

der Satz von Bayes sagt ja aus, dass P(A|B) wie folgt definiert wird: P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

Dabei ist B die Bedingung, die erfüllt sein muss. Gleichzeitig ist B aber auch das, was zu 100% feststeht, also was in der Angabe geschrieben steht. Je nach dem kannst du dann mit dem Satz von Bayes berechnen, was unter einer Bedingung B für A und -A (denk dir den Querstrich drüber ;-) gilt.

In deinem Beispiel ist Folgendes gefragt:
Definitionen:

P -> Test ist positiv
-P -> Test ist negativ
K -> Person ist erkrankt
-K -> Person ist nicht erkrankt

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt dann:

P(P|K) = 0,85
P(-P|K) = 0,15
P(P|-K) = 0,08
P(-P|-K) = 0,92
P(K) = 0,04

Gesucht ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass jemand tatsächlich erkrankt ist, nachdem er ein positives Ergebnis erhalten hat. Das heißt das Testresultat (hier positiv) ist deine Bedingung. Also suchst du nach P(K|P)

P(K|P) = (P(P|K) * P(K)) / P(P)

setze die Werte ein:

P(K|P) = (0,85 * 0,04) / P(P)

Jetzt merkst du, dass du den Wert P(P) gar nicht hat und musst diesen mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen. Das geht wie folgt:

P(P) = P(P|K) * P(K) + P(P|-K) * P(-K)

also ist P(P) = 0,85 * 0,04 + 0,08 * 0,96 = 0,1108

also ist deine Wahrscheinlichkeit insgesamt nun:

P(K|P) = (0,85 * 0,04) / 0,1108 = 0,30685...

Je nach dem wie es dein Prof verlangt, musst du 0,1108 und das Ergebnis noch runden. Ich hoffe es hat geholfen ;-)