Hallo,

ich habe wenig Erfahrung mit der algebraischen Geometrie, aber ich habe es mir gerade einmal durchgelesen und es folgendermaßen verstanden.

Ein Verschwindungsideal ist in erster Linie eine Teilmenge des Polynomrings. In dem Verschwindungsideal sind also Polynome. Dieses Verschwindungsideal bezieht sich zusätzlich auf eine Teilmenge eines affinen Raums. 

Wir nehmen uns nun eine Menge \( Z \). Dann sind in dem Verschwindungsideal \( \mathrm{Id}(Z) \) alle Polynome, die alle Elemente aus \( Z \) als Nullstellen haben. Die Polynome dürfen dabei auch weitere Nullstellen haben. 

Nehmen wir mal 

$$ Z = \{ 2 \} $$

dann sind in dem Verschwindungsideal alle Polynome, die \( 2 \) als Nullstelle haben. 

$$ \mathrm{Id}(2) = \{ (x-2) , (x-2)(x-1), (x-2)(x-3) , (x-1)(x-2)(x-3) , \ldots \} $$

Alle aufzuzählen würde sich jetzt als kompliziert gestalten, da auch jegliche Potenzen vorkommen dürfen, also sowas wie

$$ f(x) = (x-2)^{15} (x-20)^{27} $$

Die Hauptsache ist, das alle Elemente aus \( Z \) simultan Nullstelle von allen Polynomen sind.

Nehmen wir also beispielsweise 

$$ Z = \{ 2,3 \} $$

dann müssen diese beiden Elemente Nullstelle von alle Polynomen sein

$$ \mathrm{Id}(\{2,3\}) = \{ (x-2)(x-3) , (x-2)^{14}(x-3)^{19} , (x-1)(x-2)(x-3) , \ldots \} $$

In diesem Ideal wären nun beispielsweise nicht die Polynome \( (x-2) \) oder \( (x-3) \), da nur ein Element Nullstelle dieses Polynoms sind und nicht beide gleichzeitig.

Was meinst du dazu?

Grüße Christian