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Hallo rechner,
betrachten wir mal den Boden:
Für die Seitenlänge \(b\) von der achteckigen Grundfläche, die ja von dem Quadrat des Würfels begrenzt wird, gilt \(b = a \cdot (\sqrt{2} - 1)\). Wieso das gilt, kannst du dir herleiten, wenn du mal die Grundfläche der Pyramide und des Würfels in ein Bild zeichnest. Das folgt jetzt aus dem Satz des Pythagoras.
So, für das Volumen gilt folgende Formel: \(V_{Pyramide} = \frac{b^2}{3} \cdot (2 + 2\sqrt{2}) \cdot h\)
In deinem Fall ist die Höhe \(h = a\). Daraus folgt also folgende Formel für ein Volumen:
\(b = a \cdot (\sqrt{2} - 1)\) und \(V_{Pyramide} = \frac{b^2}{2} \cdot (2 + 2\sqrt{3}) \cdot a\)
Hilft dir das?
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banachraum
Student, Punkte: 142
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Hallo Rechner, banachraum hat einen kleinen Tippfehler gemacht. In seiner Formel muss es \(2*\sqrt{2}\) und nicht \(2* \sqrt{3}\) heißen. Warum Pythagoras? Wenn Du dir das Quadrat und das Achteck vorstellst siehst Du, dass ja nur 4 der 8 b Seiten am Quadrat anliegen. Die anderen 4 b Seiten haben einen Winkel von 45 Grad. Jetzt kommt Pythagoras ins Spiel. Wenn Du a=30cm mit dem Achteck ausdrücken willst brauchst Du ja b und 2-mal die Senkrechte des Dreiecks was als Hypotenuse b hat. Ich sag mal c dazu. Somit ist \(b^2=c^2+c^2 \text{ also ist }b^2 = 2c^2\text{ oder } c = \frac{b}{\sqrt{2}} \to 2c = b*\sqrt{2}\) alles eingesetzt gibt \(a=b+b*\sqrt{2} \to a = b(1+\sqrt{2}) \to b=\frac{a}{(1+\sqrt{2})}\text{ oder }a*(\sqrt{2}-1)\) Hoffe es hilft. Gruß jobe
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jobe
03.02.2020 um 20:32
Oh richtig. Danke dir jobe!
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banachraum
05.02.2020 um 13:34
Danke Euch allen, hat sehr viel geholfen
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rechner
05.02.2020 um 14:00
Ich verstehe noch nicht den Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras. Wo ist der rechte Winkel und welche Seiten sind gemeint? ─ rechner 03.02.2020 um 10:04