Trassierung ; "Umgehungsstrape"

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Die Aufgabe ist aus Fundamente der Mathematik Q, S.39/2

Hey,

ich versuche mir gerade Rückwirkend mein Matheverständnis wieder aufzubauen.

Frage : ich soll aus einem Graph mit den Punkten A(-2|2) , B (2/0), C(1/2) eine Funktion bestimmen. Außerdem ist gegeben im Text, dass der Übergang knickfrei sein soll.

Die Oben beschriebene Funktion ist die Umgehungsstraße, außerdem ist im Bild noch die Bundesstraße durch den Ort mit der berechneteten Funktion - \frac {a1} {2} x + 1 gegeben. Weiß jemand wie man das berechnet? Bin total am verzweifeln.

 

Vielen Dank vorab und LG

 

gefragt vor 2 Wochen
l
lucaworbs,
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1 Antwort
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Hallo,

zuerst, knickfrei bedeutet das die beiden Funktionen in dem Punkt die selbe Steigung aufweisen.

Wir bestimmen also zuerst die Bundesstraße durch die Punkte A und B. 

Ich nehme an wir dürfen die Punkte aus dem Bild ablesen oder? Damit haben wir

$$ A(-2|2) \quad B(2|0) $$

Diese setzen wir jeweils in die allgemeine Geradengleichung ein

$$ y = mx + n $$

Ist das \( a \) versehentlich dort gelandet? Denn dann ist deine Gerade schon mal richtig

$$ g(x) = - \frac 1 2 x + 1 $$

Wenn wir dann den Verlauf der Straße angucken, kann man erahnen das die Funktion mindestens 3. Grades ist. Bei der Trassierung wird aber auch im allgemeinen eine Funktion 3. Grades gewählt, wenn diese knickfrei sein soll. 
Also

$$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$

Diese soll durch die Punkte \( A,B \) und \( C \) gehen und gleichzeitig im Punkt \( A \) knickfrei in die Gerade übergehen. Damit haben wir 4 Unbekannte und 4 Informationen und können so die Funktion aufstellen.

Die 4 Gleichungen erhatlen wir aus

$$ \begin{array}{ccc} f(-2) & = & 2 \\ f(2) & = & 0 \\ f(1) & = & 2 \\ f'(-2) &=& g'(-2) \end{array} $$

Wenn du das alles einsetzt und das LGS löst, dann erhälst du deine Funktion. 

Grüße Christian 

geantwortet vor 1 Woche, 6 Tage
christian_strack, verified
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