Zu i)  Hier reicht es nicht unbedingt zu zeigen, dass f nicht stetig partiell diffbar ist. Es gibt auch nicht stetig differenzierbare Funktionen, die trotzdem Lipschitzstetig sind. (vgl \( f(x) = \vert x \vert \)). Tatsächlich muss die Funktion nur \(\textbf{fast}\) überall differenzierbar sein (vgl Satz von Rademacher).  Hier würde ich einfach einen Punkt in der 0 Fixieren und zeigen, dass der Ausdruck unbeschränkt ist: Wähle also \(y_2 = 0\). Dann bekommen wir:

\(\Big \vert \frac{y_1^{\frac{2}{3}}}{y_1} \Big\vert \leq L  \iff \vert (\frac{1}{y_1})^{\frac{1}{3}}\vert \leq L\). Dass das für \(y_1\) gegen \(0\) unbeschränkt ist, ist denke ich klar.

Zu ii) sieht richtig aus.

Zu iii) Da würde ich zwei Fälle betrachten: einmal \((*)y_1 = 2, y_2 > 2\) und einmal \((**)y_1 = -2, y_2 < -2\). Das sollte reichen, da die Funktionen ansonsten nur verschobene  und gestreckte Betragsfunktionen sind.  Fangen wir dochmal mit \((*)\) an. Dann bekommen wir 

\( \vert x - x \vert3y_2-5\vert\vert \leq L \vert 2-y_2\vert \iff \vert x \vert \vert 1 - \vert 3y_2-5\vert\vert \leq L \vert 2 - y_2\vert \overbrace{\iff}^{y_2 > 2} \vert x\vert \vert 6-3y_2\vert \leq L\vert2-y_2\vert \iff 3\vert x\vert \vert 2-y_2\vert \leq L \vert2-y_2\vert \ \). Damit folgt also, dass mit \(L = 3 \vert x \vert \) die Lipschitzbedingung erfüllt ist.

Für \((**)\) habe ich das noch nicht gemacht, sollte aber so ähnlich funktionieren. Aber vielleicht schaffst du das ja.

Wenn du Fragen haben solltest/nicht weiter kommst, kannst du ja nochmal nachfragen.