Hey, (a) gegeben ist die Funktion \( f(t) = 2^{ \frac{t}{20}} \). Diese Funktion beschreibt die Tatsache, dass sich die Bakterienanzahl alle 20 Minuten verdoppelt. (Wenn t = 20, dann ist der Exponent 1 und f(t) ist 2, nach 40 Minuten ist der Exponent 2 und f(t) = 4 usw.). Gesucht wird jetzt der Zeitpunkt t, an dem 1.000.000 Bakterien exisitieren. Dazu setzen wir: \( f(t) = 1.000.000 = 2^{ \frac{t}{20}} \) Das gilt es nun nach t umzustellen. Dafür verwendet man den Logarithmus. In diesem Fall nutzen wir den Logarithmus zu Basis 2, da dies unsere Basis der Exponentialfunktion ist. \( \log_2 (1.000.000) = \frac{t}{20} \) Jetzt noch mit 20 multiplizieren und du hast deinen Wert für t. \( \log_2 (1.000.000) \cdot 20 = t \) (b) Hier musst du die Ungleichung \( f(t) \leq g(t) \) betrachten. Für beide Funktionen kannst du die gegebenen Terme einsetzen. Der Unterschied zwischen g und f ist, dass sich die Bakterienpopulation von g(t) nur alle 3 Minuten verdoppelt, dafür am Anfang bereits 100 Bakterien existieren. \( 2^{ \frac{t}{20}} \leq 100 \cdot 2^{ \frac{t}{30}} \) Hier gibt es nun 2 Möglichkeiten. Entweder du wendest direkt den Logarithmus zur Basis 2 auf beiden Seiten an, dann muss du allerdings beachten, dass du auf der rechten Seite noch die 100 als Faktor hast (Logarihmengesetz anwenden) ODER du teilst erstmal durch \( 2^{ \frac{t}{30}} \) und musst dann Potenzgesetze anwenden und am Ende auch wieder den Logarithmus berechnen. Ich habe mich jetzt mal für das direkte Anwenden des Logarithmus entschieden. \( \frac{t}{20} \leq \log_2(100) + \frac{t}{30} \) Diese Gleichung musst du jetzt noch nach t auflösen (also die Brüche erstmal auf einen gemeinsamen Nenner bringen (z.B. 60), erweitern, zusammenfassen) und t berechnen. (c) Hier hast du die Gleichung \( f(t) = 2 \cdot g(t) \) Auch hier kannst du die Funktionen wieder einsetzen und wie in (b) das t berechnen. Falls du noch Fragen hast, dann meld dich nochmal, ansonsten kannst du ja erstmal selber etwas rumrechnen. Viele Grüße Stefan

a)

Zunächst machen wir uns klar, was überhaupt gesucht ist: Die Zeit, wo unsere Funktion 1.000.000 erreicht. Damit können wir sagen, dass wir folgende Gleichung erhalten:

\( f(t) = 1.000.000 \)

\( 2^{\frac {t} {20}} = 1.000.000 \)

Wir nutzen nun die Logarithmus Funktion, die Umkehrung von Expotentialfunktionen:

\( \fra{t}{20} = log_{2}(1.000.000) = 19,932 \)

Nun multiplizieren wir mit 20 um t zu erhalten:

\( t = 398,361 \)

 

b)

Erneut machen wir uns zunächst klar, was gefordert ist: Die Zeit, wenn Bakterie 1 größer ist als Bakterie 2. Dafür schreiben wir uns als ersten eine Ungleichung auf:

\( f(t) = g(t) \)

\( 2^{\frac {t} {20}} = 100 * 2^{\frac {t} {30}} \)

Nun diviereren wir durch die Potenz aus g:

\( \frac {2^{\frac {t} {20}}} {2^{\frac {t} {30}}} = 100 \)

Wir haben die gleiche Basis, also subtrahieren wir die Exponenten auf der rechten Seite:

\( 2^{\frac {t} {20} - \frac {t} {30}} = 100 \)

Durch erweitern erhalten wir:

\( 2^{\frac {10t} {600}} = 100 \)

\( 2^{\frac {t} {60}} = 100 \)

Nun gehen wir erneut vor wie in a:

\( \fra{t}{60} = log_{2}(100) = 6,644 \)

Nun multiplizieren wir mit 60 um t zu erhalten:

\(t = 398.631 )\

Wir sehen also bei 398.631 min. sind beide Populationen gleich groß, also ist die 1. bei 399 min. größer

 

c)

Erneut sehen wir uns zunächst an was die Aufgabe ist: Gesucht ist nämlich die Zeit, wan Population 1 zweimal so groß wir Population 2 ist. Dafür gehen wir vor wie in b:

\( 2 * f(t) = g(t) \)

\( 2 * 2^{\frac {t} {20}} = 100 * 2^{\frac {t} {30}} \)