In der letzten Zeile fehlt um \(g\circ f\) eine Klammer, es müsste \((g\circ f)(x)\) heißen.
Bei beiden Schritten sagst du (völlig korrekt) "höchstens ein" und nimmst dann aber an, dass es existiert. (Sonst könntest du ja nicht damit rechnen) Aber was ist, wenn es keins gibt? In jedem Schritt solltest du da noch hinzufügen, dass wenn es kein Urbild gibt, dann \(g\circ f\) ebenfalls injektiv ist.
Schneller (und formaler) kommst du übrigens zum Ziel, wenn du benutzt
\(f\colon X\to Y \text{ injektiv}\ \Longleftrightarrow (\forall a,b\in X\colon f (a)=f (b)\Longrightarrow a= b).\)
Dann kannst du sagen: Seien \(m,n\in M\) mit \(g (f (m))=g (f (n))\). Da \(g\) injektiv ist, folgt \(f (m)=f (n)\) und da \(f\) injektiv ist, folgt \(m=n\), also ist \(g\circ f\) injektiv.
Student, Punkte: 5.33K
Wieso nehme ich an, dass es existiert, bzw. ein Element darf ja auch existieren. ─ mathematikmachtspaß 19.03.2020 um 12:08