Ganz allgemein (und nur oberflächlich erklärt) ist die Dichtefunktion (in deiner Frage: Wahrscheinlichkeitsdichte) eine Funktion die, summiert man über alle möglichen Zufallsereignisse in der Summe 1 ergibt.

Beispiel Würfel: Dichtefunktion ist \(f(x)=\frac{1}{6}\), dabei steht x für ein mögliches Würfelergebnis. Summiert man jetzt über alle möglichen Ereignisse erhält man \(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1\).

Die Verteilungsfunktion ist dann die Funktion die die Du erhälst, wenn Du alle möglichen Werte der Dichtefunktion von "ganz links/unten" bis zu einer Obergrenze aufsummierst.

Beispiel Würfel: X beschreibe ein mögliches Würfelergebnis. n ist ein Wert aus den möglichen Würfelergebnissen also \(\in \{1;2;3;4;5;6\}\) Verteilungfunktion \(F(X\le n) = \sum^{n}_{k=1}f(k)\). Durch die Verteilungsfunktion erhälst Du immer die Wahrscheinlichkeit für das eintreten eines Ereignisses bis zu einem Wert (hier: n). MaW Wie wahrscheinlich ist es eine 3 oder weniger zu würfeln? \(F(X\le 3)=\sum^{3}_{k=1}f(k)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\).

Bei der Normalverteilung bleibt die Idee dieselbe, allerdings haben wir nicht mehr diskret viele Zufallsereignisse, sondern stetig viele im Intervall \((-\infty;\infty)\). Da kann man mit einer normalen Summe nicht mehr viel machen, also hat man das Integral. Die Verteilungsfunktion (ich nenn sie P) ist dann hier die Wahrscheinlichkeit des eintretens bis hin zu einem gewissen Wert: \(P(x\le\text{Zielwert})=\int_{-\infty}^{\text{Zielwert}}f(x)\), wobei f die Dichtefunktion der Normalverteilung ist. (Du weißt schon: \(f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{(2\pi)}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^{2}}\)).

Noch Unklarheiten? Gerne Fragen,

MoNil

P.S. Ob es sich um eine Normalverteilung handelt ist dabei egal. Sehr oberflächlich zusammengefasst: Die Verteilungsfunktion gibt Dir immer eine Wahrscheinlichkeit indem über die Dichte integriert (summiert) wird. Die Dichte ist KEINE Wahrscheinlichkeit (nur bei diskreten Verteilungen wie dem Würfelbeispiel); trotzdem muss stets Dichte \(\ge 0\) erfüllt sein. Die Verteilungsfunktion hat auch Anforderungen: monoton steigend und immer \(\ge 0\) und \(\le 1\) (weil sie Wahrscheinlichkeiten darstellt und damit den Axiomen von Kolmogoroff gehorchen muss).