Um zu zeigen, dass eine Funktion injektiv ist, musst du ansetzen \(f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)\). Wenn du dann zeigen kannst, dass \(x_1=x_2\) und \(y_1=y_2\) gilt, dann ist die Funktion injektiv. Wenn du zeigen willst, dass eine Funktion nicht injektiv ist, reicht ein Gegenbeispiel. Bei der ersten Funktion wäre das zum Beispiel \(f_1 (0,0)=f_1 (1,2)\), also ist sie nicht injektiv. Eine stetige Funktion von \(\mathbb R^2\) nach \(\mathbb R\) kann auch überhaupt nicht injektiv sein, denn im Zielbereich ist gar nicht genug "Platz", um die viel mehr möglichen Variablen unterzubringen. (Das ist aber kein formaler Beweis) Folglich ist die zweite Funktion auch nicht injektiv, findest du hier selbst ein Gegenbeispiel?
Um zu zeigen, dass eine Funktion surjekitv ist, startest du mit \(a\in\mathbb R\) beliebig und versuchst, \(x,y\) zu finden, sodass \(f(x,y)=a\). Bei der ersten Funktion gilt zum Beispiel \(f (a,0)=a\), also ist die Funktion surjektiv.
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\(f_1 (0,0)=0-\frac12\cdot0=0\), du setzt die erste Zahl für a und die zweite für b ein. Ebenso ist \(f_1 (1,2)=1-\frac12\cdot 2=0.\) ─ sterecht 19.03.2020 um 19:52
\(f(1,1) = f(2,3)\) wäre ja \(1+1-1 = 1 = 4 + 9 -1 = 12\)
Heißt dann: \(f(1,1) \not= f(2,3)\)
Wäre das ein richtiges Gegenbeispiel? ─ mathematikmachtspaß 19.03.2020 um 20:45
Du musst zwei verschiedene Zahlenpaare einsetzen und es muss das gleiche rauskommen. ─ sterecht 20.03.2020 um 14:12
Und bei der ersten Funktion war mein Gedankengang, dass du da für \(b\) \(0\) eingesetzt hast und dadurch \(a - \frac{1}{2} * 0 = a\) rausgekommen ist.
Aber das stimmt dann auch nicht, oder? ─ mathematikmachtspaß 21.03.2020 um 17:47
Bei der ersten Funktion müssen wir für jedes \(x\) ein \(a\) und \(b\) finden, sodass \(f_1(a,b)=x\). Dazu wählen wir zum Beispiel \(a=x\) und \(b=0\), denn \(f(x,0)=x.\) ─ sterecht 21.03.2020 um 20:18
Das mit dem für jedes \(a\) und \(b\) ein \(x\) finden, versteh ich immer noch nicht ganz... Wenn \(a=x\) und \(b=0\), wie seh ich dann, dass \(f(x, 0) = x\)?
Wird das in die Funktion so eingesetzt: \(x - \frac{1}{2}*0 = 0 => x\) ? ─ mathematikmachtspaß 21.03.2020 um 22:19
Muss ich die beiden Gleichungen in den Klammern getrennt betrachten, denn wenn nicht, dann wäre die Funktion nicht injektiv (was ich aber nicht glaube)
Gegenbeispiel wäre dann: \(f(0,0) = 0 = f(1,2)\)
─ mathematikmachtspaß 22.03.2020 um 12:08
Diese Funktion ist tatsächlich injektiv. Um das zu zeigen, beginnst du mit \(f(a,b)=f(c,d),\) oder eingesetzt \((a+2b,2a-b)=(c+2d,2c-d)\). Jetzt hast du zwei Gleichungen (die Gleichheit von Tupeln ist durch komponentenweise Gleichheit definiert), und die musst du umformen, bis du zum Ergebnis \(a=c\) und \(b=d\) kommst.
Die Funktion ist auch surjektiv. Um das zu beweisen, beginnst du mit \(f(a,b)=(x,y)\) oder eingesetzt \((a+2b,2a-b)=(x,y)\) und findest \(a,b\) in Abhängigkeit von \(x\) und \(y\). ─ sterecht 22.03.2020 um 13:45
So sind die Abbildungen \( f_3 \) und \( f_1 \) lineare Abbildungen zwischen reellen Vektorräumen.
Zu \( f_3 \) : Man berechnet nun nur den Kern dieser Abbildung. Für die Abbildung \( f_3 \) ist der Kern trivial. (Den Kern berechnet man, indem man die Darstellungsmatrix aufstellt). Somit ist \( f_3 \) injektiv. Aus dem Dimensionssatz folgt dann, dass \( f_3 \) auch surjektiv ist.
Alternativ kannst du auch die Determinante von \( f_3 \) berechnen. Diese ist \( \text{det} \, f_3 = -5 \neq 0\) , somit ist \( f_3 \) bijektiv. ─ anonym42 22.03.2020 um 14:07
Zu den Gleichungen: \(a +2b = c +2d\) hab da versucht nach \(b\) und \(d\) umzustellen, aber da löst sich beides Mal die Gleichung komplett auf und ich hab nur mehr eine leere Menge, wenn man da so sagen kann. Muss ich da für \(b\) und \(d\) selber Zahlen einsetzen? ─ mathematikmachtspaß 22.03.2020 um 14:39
Dann reicht das so als Beweis für Injektivität? ─ mathematikmachtspaß 22.03.2020 um 21:11
Und zu deinem Beispiel: ich versteh nicht ganz, wie ich diese Zahlen in die Funktion einsetzen muss.
Bei \(f_1(0,0) = f_2(2,1) \) setze ich \(a=0, b=0\), aber was setze ich dann im rechten Ausdruck \(a-\frac {1} {2}b\) ein? ─ mathematikmachtspaß 19.03.2020 um 17:53