Grenzwert einer Folge Bestimmen

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Wie komme ich auf den Grenzwert der Folge 

\(a_n\) = \( \frac {\sqrt {n}}{\sqrt{n-a}+\sqrt{n}} \) ?

durch direktes Ausklammern von \( \sqrt{n} \) erhalte ich den Grenzwert \( \frac {1} {2} \)

Was mich interessiert ist wie ich auf den Grenzwert komme nach dem Rationalisieren von \(a_n \) durch multiplizieren mit dem Term aus dem Nenner mit umgekehrtem Vorzeichen (3. binomische Formel)

\(a_n\) = \( \frac {\sqrt {n}*\sqrt{n-a}-\sqrt{n}\sqrt{n}}{\sqrt{n-a}\sqrt{n-a}-\sqrt{n}\sqrt{n}}\) 

Wie komme ich von hier aus zum korrekten Grenzwert?

 

 

gefragt vor 2 Wochen, 5 Tage
f
flocke93,
Student, Punkte: 12
 
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2 Antworten
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Ich weiß nicht, warum du das machen wolltest, denn es ist nicht einfacher, aber na gut:

Ausmultiplizieren ergibt

\(a_n=\frac{\sqrt{ n^2-an}-n}{-a}=\frac{n\sqrt{1-\frac an}-n}{-a}=\frac{1-\sqrt{1-\frac an}}{\frac an}.\)

Jetzt gehen Zähler und Nenner gegen 0, sodass wir die Regel von L'Hôpital anwenden können:

\(\begin{align}\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{\frac {d}{dx}\left(1-\sqrt{1-\frac an}\right)}{\frac d{dx}\frac an}=\frac{-\frac{\frac a{n^2}}{2\sqrt{1-\frac an}}}{-\frac a{n^2}}=\frac1{2\sqrt{1-\frac an}}=\frac12,\end{align}\) da die Wurzel gegen 1 geht.

Wie gesagt nicht wirklich einfacher, aber du wolltest es ja so.

geantwortet vor 2 Wochen, 5 Tage
s
sterecht verified
Student, Punkte: 4.2K
 

Danke für die hilfreiche Antwort!
Mir ist schon klar, dass der Weg wohl nicht der einfachste ist, aber gerade deswegen hat er mich interessiert!
  -   flocke93, vor 2 Wochen, 5 Tage
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Hallo,

\(a_{n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n-a}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}\cdot(\sqrt{n-a}-\sqrt{n})}{(n-a)-n}=\frac{n\cdot \sqrt{1-\frac{a}{n}}-n}{-a}=...\). Für den Rest siehe sterecht, denn der hat Recht

Viele Grüße,

MoNil

geantwortet vor 2 Wochen, 5 Tage
m
monil verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.17K
 

Bei der dritten binomischen Formel steht \(a^2-b^2\), nicht \(+\), sodass bei deinem zweiten Bruch ein \(-\) im Nenner stehen müsste.   -   sterecht, verified vor 2 Wochen, 5 Tage

Ja, bin gerade am korrigieren. Dummer Fehler... Leider ist das mit der MathJax Vorschau so ne Sache, daher brauch ich ewig hier...   -   monil, verified vor 2 Wochen, 5 Tage

Ja, das kenn ich...   -   sterecht, verified vor 2 Wochen, 5 Tage
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