Ich weiß nicht, warum du das machen wolltest, denn es ist nicht einfacher, aber na gut:

Ausmultiplizieren ergibt

\(a_n=\frac{\sqrt{ n^2-an}-n}{-a}=\frac{n\sqrt{1-\frac an}-n}{-a}=\frac{1-\sqrt{1-\frac an}}{\frac an}.\)

Jetzt gehen Zähler und Nenner gegen 0, sodass wir die Regel von L'Hôpital anwenden können:

\(\begin{align}\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{\frac {d}{dx}\left(1-\sqrt{1-\frac an}\right)}{\frac d{dx}\frac an}=\frac{-\frac{\frac a{n^2}}{2\sqrt{1-\frac an}}}{-\frac a{n^2}}=\frac1{2\sqrt{1-\frac an}}=\frac12,\end{align}\) da die Wurzel gegen 1 geht.

Wie gesagt nicht wirklich einfacher, aber du wolltest es ja so.

Hallo,

\(a_{n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n-a}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}\cdot(\sqrt{n-a}-\sqrt{n})}{(n-a)-n}=\frac{n\cdot \sqrt{1-\frac{a}{n}}-n}{-a}=...\). Für den Rest siehe sterecht, denn der hat Recht

Viele Grüße,

MoNil