Grenzwert Problem Analysis

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Hallo

Ich sitze seit einiger Zeit hier dran:

\( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{e}{2x}} {e-(1+\frac{1}{x})^x} \)

Die Regel von L'Hospital hab ich mal versucht anzuwenden, aber scheint zu nichts zu führen:

\( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{-\frac{e}{2x^2}} { (1+ \frac{1}{x})^x \ln(1+\frac{1}{x})+ (1+\frac{1}{x})^x(\frac{1}{1+x})^x } \)

Ein bisschen anderes Zeug habe ich auch probiert, aber das war von genau so viel Erfolg gekrönt. Am besten wäre ein Tipp, der mich in die richtige Richtung bringt, aber eine komplette Antwort ist natürlich auch willkommen.

Ich bedanke mich im Voraus schonmal for alle die helfen. 

Janis

 

 

 

 

 

 

 

gefragt vor 2 Wochen, 3 Tage
n
nichtmeinechtername,
Schüler, Punkte: 12
 
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Wir berechnen \(\begin{align}L:=\lim_{x\to\infty}x\left(e-\left(1+\frac1x\right)^x\right) \end{align}\), der Grenzwert in Frage ist dann einfach \(\frac e{2L}.\)

Dazu benutzen wir L'Hôpital und erhalten

\(\begin{align}L&=\lim_{x\to\infty}\frac{e-\left(1+\frac1x\right)^x}{\frac1x}\overset{L'H}=\lim_{x\to\infty}\frac{-\left(1+\frac1x\right)^x\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{1+x}\right]}{-\frac1{x^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x\cdot x^2\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}\right]\end{align}\)

Der erste Faktor konvergiert bekanntermaßen gegen \(e\), wenn nun auch der zweite Faktor konvergiert, dann können wir den Grenzwert berechnen. Also untersuchen wir nun \(J:=\lim_{x\to\infty}x^2\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{1+x}\right]\), wofür wir wieder L'Hopital verwenden:

\(\begin{align}J&=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}}{\frac1{x^2}}\overset{L'H}=\frac{\frac{1}{1+\frac1x}\cdot\left(-\frac1{x^2}\right)-\frac{-1}{(1+x)^2}}{-\frac2{x^3}}=\lim_{x\to\infty}\frac12\cdot\frac{x^4+x^3}{(x^2+1)(x+1)^2}=\frac12.\end{align}\)

Da das also konvergiert, gilt \(L=e\cdot J=\frac e2\) und damit

\(\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{\frac e{2x}}{e-\left(1+\frac1x\right)^x}=\frac e{2L}=1.\end{align}\)

Ich hoffe, das ist nachvollziehbar und hat dir geholfen. Ansonsten frag gern nochmal nach.

geantwortet vor 2 Wochen, 3 Tage
s
sterecht, verified
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