Wir berechnen \(\begin{align}L:=\lim_{x\to\infty}x\left(e-\left(1+\frac1x\right)^x\right) \end{align}\), der Grenzwert in Frage ist dann einfach \(\frac e{2L}.\)

Dazu benutzen wir L'Hôpital und erhalten

\(\begin{align}L&=\lim_{x\to\infty}\frac{e-\left(1+\frac1x\right)^x}{\frac1x}\overset{L'H}=\lim_{x\to\infty}\frac{-\left(1+\frac1x\right)^x\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{1+x}\right]}{-\frac1{x^2}}\\&=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x\cdot x^2\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}\right]\end{align}\)

Der erste Faktor konvergiert bekanntermaßen gegen \(e\), wenn nun auch der zweite Faktor konvergiert, dann können wir den Grenzwert berechnen. Also untersuchen wir nun \(J:=\lim_{x\to\infty}x^2\left[\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{1+x}\right]\), wofür wir wieder L'Hopital verwenden:

\(\begin{align}J&=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}}{\frac1{x^2}}\overset{L'H}=\frac{\frac{1}{1+\frac1x}\cdot\left(-\frac1{x^2}\right)-\frac{-1}{(1+x)^2}}{-\frac2{x^3}}=\lim_{x\to\infty}\frac12\cdot\frac{x^4+x^3}{(x^2+1)(x+1)^2}=\frac12.\end{align}\)

Da das also konvergiert, gilt \(L=e\cdot J=\frac e2\) und damit

\(\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{\frac e{2x}}{e-\left(1+\frac1x\right)^x}=\frac e{2L}=1.\end{align}\)

Ich hoffe, das ist nachvollziehbar und hat dir geholfen. Ansonsten frag gern nochmal nach.