Analysis I

Aufrufe: 45     Aktiv: vor 2 Wochen, 4 Tage

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Könnte mir da jemand behilflich sein?

 

LG

Enver

 

gefragt vor 2 Wochen, 4 Tage
e
enver,
Student, Punkte: 10
 
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2 Antworten
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Zunächst schreiben wir um: \(\left(\frac{-n+5}{2-n}\right)^n=\left(\frac{n-5}{n-2}\right)^n=\left(1+\frac{-3}{n-2}\right)^n\).

Nun gilt \(\begin{align}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{-3}{n-2}\right)^n\overset{n\rightarrow n+2}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{-3}n\right)^{n+2}=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{-3}n\right)^n\cdot\left(1+\frac{-3}n\right)^2\right].\end{align}\)

Jetzt haben wir also ein Produkt im Limes, bei dem beide Faktoren konvergieren (Du findest sicher selbst heraus, wogegen: Der erste Grenzwert ist sehr bekannt und der zweite sehr einfach). Deshalb ist der Grenzwert des Produkt das Produkt der Grenzwerte und wir erhalten als Ergebnis \(e^{-3}.\)

geantwortet vor 2 Wochen, 4 Tage
s
sterecht verified
Student, Punkte: 4.2K
 

Sag mal sterecht, Du bist doch ne AI... wie schnell kann man denn sein :-D   -   monil, verified vor 2 Wochen, 4 Tage

schneller :/
aber beim Schritt "\(n \rightarrow n+2\) sollte man eine andere Variable nehmen. Ich weiß, sehr formal streng
  -   marcel.pietschmann, vor 2 Wochen, 4 Tage

Nein, nein, ich bin menschlich :) Hab bloß nichts zu tun.   -   sterecht, verified vor 2 Wochen, 4 Tage

Eigentlich muss man keine andere Variable nehmen. Es mag vielleicht schöner oder nachvollziehbarer sein, eine neue Variable einzuführen, aber ich konnte mich nicht entscheiden, wie ich sie nennen sollte, deshalb hab ichs gelassen. Und rein formal stimmt die Gleichheit. Wenn \((a_n)_n\) eine Folge ist, dann ist \(\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+k}\) für alle \(k\in\mathbb Z\).   -   sterecht, verified vor 2 Wochen, 4 Tage

Da hast du natürlich vollkommen recht. Deswegen schrieb ich streng formal..denn formal gesehen, bildest du damit eine Teilfolge einer konvergenten Folge bzw. nimmst eine Indexverschiebung vor..sagen wir so: wir haben beide irgendwie recht. ;)   -   marcel.pietschmann, vor 2 Wochen, 4 Tage
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Du kannst den Grenzwert für die Potenz der eulerschen Zahl benutzen:
\[ \lim_{k\rightarrow\infty} \left(1+\frac{a}{k}\right)^k = e^a \]

Du kannst also deinen Bruch so umformen, dass diese Grenzwert vorkommt. Dabei sind Potenzgesetze oft hilfreich und die nahrhafte Null wie z.B. \( k = n + 7 - 7 \)

geantwortet vor 2 Wochen, 4 Tage
m
marcel.pietschmann
Lehrer/Professor, Punkte: 10
 
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