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Zunächst schreiben wir um: \(\left(\frac{-n+5}{2-n}\right)^n=\left(\frac{n-5}{n-2}\right)^n=\left(1+\frac{-3}{n-2}\right)^n\).
Nun gilt \(\begin{align}\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{-3}{n-2}\right)^n\overset{n\rightarrow n+2}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{-3}n\right)^{n+2}=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{-3}n\right)^n\cdot\left(1+\frac{-3}n\right)^2\right].\end{align}\)
Jetzt haben wir also ein Produkt im Limes, bei dem beide Faktoren konvergieren (Du findest sicher selbst heraus, wogegen: Der erste Grenzwert ist sehr bekannt und der zweite sehr einfach). Deshalb ist der Grenzwert des Produkt das Produkt der Grenzwerte und wir erhalten als Ergebnis \(e^{-3}.\)
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sterecht
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Sag mal sterecht, Du bist doch ne AI... wie schnell kann man denn sein :-D
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monil
22.03.2020 um 14:40
schneller :/
aber beim Schritt "\(n \rightarrow n+2\) sollte man eine andere Variable nehmen. Ich weiß, sehr formal streng ─ marcel.pietschmann 22.03.2020 um 14:44
aber beim Schritt "\(n \rightarrow n+2\) sollte man eine andere Variable nehmen. Ich weiß, sehr formal streng ─ marcel.pietschmann 22.03.2020 um 14:44
Nein, nein, ich bin menschlich :) Hab bloß nichts zu tun.
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sterecht
22.03.2020 um 14:45
Eigentlich muss man keine andere Variable nehmen. Es mag vielleicht schöner oder nachvollziehbarer sein, eine neue Variable einzuführen, aber ich konnte mich nicht entscheiden, wie ich sie nennen sollte, deshalb hab ichs gelassen. Und rein formal stimmt die Gleichheit. Wenn \((a_n)_n\) eine Folge ist, dann ist \(\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+k}\) für alle \(k\in\mathbb Z\).
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sterecht
22.03.2020 um 14:47
Da hast du natürlich vollkommen recht. Deswegen schrieb ich streng formal..denn formal gesehen, bildest du damit eine Teilfolge einer konvergenten Folge bzw. nimmst eine Indexverschiebung vor..sagen wir so: wir haben beide irgendwie recht. ;)
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marcel.pietschmann
22.03.2020 um 14:56
